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k を実数の定数とし f(x)=kx(1-x) とする。
f(f(x))=x を満たす正の数 x がただ1つ存在
するように k の値を定めよ。

以前、「この問題を手計算でしかも試験で出題されたようなときに解くにはどうすればいいか」と質問したら、以下のような大変丁寧な回答をいただいて、まことに感謝しております。私宛の回答か定かではありませんが、おそらくそうだと思っておきます。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12536766.html
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12529173.html

ここ数日、この回答について十分な時間をかけて検討しておりました。
その結果、大変申し上げにくいのですが、この回答は呆れるほどセンスがない、という結論に落ち着きました。

せっかくg(x)がh(x)で割り切れることに気付いたのに、式を全て書き下してしまうなんて、バカげてませんか?
どう思われますか?mtrajcpさん。

論理的に正しく、しかも省略のない丁寧な回答をいただいて、非常に参考になりました。
心の荒んだ他の回答者とは一線を画しておられて、大変尊敬しています。

ですが、この一点が気になっております。

A 回答 (6件)

#4を取り消します


訂正します

kを実数の定数とし
f(x)=kx(1-x)
g(x)=x-f(f(x))
h(x)=x-f(x)
とすると

h(x)=0の任意の解x=aに対して
h(a)=a-f(a)=0
a=f(a)
↓これをg(x)=x-f(f(x))に代入すると
g(a)=a-f(f(a))=a-f(a)=0
だから
x=aはg(x)=0の解になるから
因数定理からh(x)の因数はg(x)の因数となるから
h(x)の因数でg(x)を因数分解できる

h(x)=x-kx(1-x)
=x{1-k(1-x)}
=x(kx-k+1)

g(x)
=x-f(f(x))
=x-kf(x)(1-f(x))
=k(f(x))^2-kf(x)+x
=k{x-h(x)}^2-k{x-h(x)}+x
=k{h(x)}^2-2kxh(x)+kx^2-kx+kh(x)+x
=k{h(x)}^2-2kxh(x)+kh(x)+x-kx(1-x)
=k{h(x)}^2-2kxh(x)+kh(x)+x-f(x)
=k{h(x)}^2-2kxh(x)+kh(x)+h(x)
=h(x){kh(x)-2kx+k+1}
=h(x){kx(kx-k+1)-2kx+k+1}
=h(x){k^2x^2-k(k+1)x+k+1}
=x(kx-k+1){k^2x^2-k(k+1)x+k+1}

k=0の時
x=0がg(x)=0のただ1つの解だから正の解数0

k≠0
x1=(k-1)/k
x2={k+1-√(k^2-2k-3)}/(2k)
x3={k+1+√(k^2-2k-3)}/(2k)
とする
0,x1,x2,x3はg(x)=0の解

k<-1の時
0<x2<x1
だから正の解数2以上

k=-1の時
x1=(k-1)/k=2
x2=x3=0
だから正の解数1

-1<k<0の時
x1=(k-1)/k>0
x2,x3は虚数
だから正の解数1

0<k≦1の時
x1=(k-1)/k≦0
x2,x3は虚数
だから正の解数0

1<k<3の時
x1=(k-1)/k>0
x2,x3は虚数
だから正の解数1

k=3の時
x1=x2=x3=2/3
だから正の解数1

k>3の時
0<x1<x3
だから正の解数2以上


-1≦k<0.または.1<k≦3
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f(x)の形を残す


その方法だと
g(x)は4次式だから
g(x)
を書き下す方法よりもさらに手間がかかるのです
なぜかというと
h(x)=0

g(x)=0

x=0という解を持ち
g(x)とh(x)は
xという共通因数を持つのだから
次数をさげるために
xという因数を括り出す方がよいのです
g(x)/xは3次式
h(x)/xは1次式
g(x)/xをh(x)/xで割ってみればよいのです
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ご指摘の通り


因数定理からh(x)の因数はg(x)の因数となるからといって
g(x)はh(x)で割り切れるとはかぎりません
だから
g(x)もh(x)も
書き下し
割り切れるのを確認するのです
書き下すのにそんなに手間はかかりません

h(x)を因数分解して
その因数で
g(x)を因数分解するのです
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この回答へのお礼

どう思う?

そりゃmtrajcpさんみたいにめちゃくちゃ計算力のある人からするとそうでしょうけど……

普通は、せっかくh(x)で割り切れそうだと直感が働いたのだから、
g(x)
=x-f(f(x))
=x-kf(x)(1-f(x))
=k(f(x))^2-kf(x)+x
=k(x-h(x))^2-k(x-h(x))+x
=kh(x)^2-2kxh(x)+kx^2-kx+kh(x)+x
=kh(x)^2-2kxh(x)+kh(x)+h(x)
=……
では?

せっかくのアイディアを無に帰す意味がよく分かりません。

お礼日時:2021/08/28 22:18

kを実数の定数とし


f(x)=kx(1-x)
g(x)=x-f(f(x))
h(x)=x-f(x)
とすると

h(x)=0の任意の解x=aに対して
h(a)=a-f(a)=0
a=f(a)
↓これをg(x)=x-f(f(x))に代入すると
g(a)=a-f(f(a))=a-f(a)=0
だから
x=aはg(x)=0の解になるから
因数定理からh(x)の因数はg(x)の因数となる

h(x)=x-kx(1-x)
=x{1-k(1-x)}
=x(kx-k+1)

g(x)=x-f(f(x))
=x-kf(x){1-f(x)}
=x-(k^2)x(1-x){1-kx(1-x)}
=x{1-(k^2)(1-x)(1-kx+kx^2)}
=x{1-(k^2)(1-(k+1)x+2kx^2-kx^3)}
=x{k^3x^3-2k^3x^2+k^2(k+1)x-k^2+1}

↓h(x)で割りきれる事を確認し、因数分解すると

=x(kx-k+1){k^2x^2-k(k+1)x+k+1}

k=0の時
x=0がg(x)=0のただ1つの解だから正の解数0

k≠0
x1=(k-1)/k
x2={k+1-√(k^2-2k-3)}/(2k)
x3={k+1+√(k^2-2k-3)}/(2k)
とする
0,x1,x2,x3はg(x)=0の解

k<-1の時
0<x2<x1
だから正の解数2以上

k=-1の時
x1=(k-1)/k=2
x2=x3=0
だから正の解数1

-1<k<0の時
x1=(k-1)/k>0
x2,x3は虚数
だから正の解数1

0<k≦1の時
x1=(k-1)/k≦0
x2,x3は虚数
だから正の解数0

1<k<3の時
x1=(k-1)/k>0
x2,x3は虚数
だから正の解数1

k=3の時
x1=x2=x3=2/3
だから正の解数1

k>3の時
0<x1<x3
だから正の解数2以上


-1≦k<0.または.1<k≦3
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この回答へのお礼

どう思う?

g(x)がh(x)で割り切れることを見抜かれたのは、本当にすごいと思っています。
私にはまったく気付くことができませんでしたので、慧眼に感服いたしました。

ですが、せっかくこんなすばらしい性質に気付かれたのに、g(x)もh(x)も書き下してしまうのは謎です。

g(x)
=x-f(f(x))
=x-kf(x)(1-f(x))

を、x-f(x)を無理やり搾り出すように、なんとかx-f(x)を温存するように、変形できないものでしょうか?

お礼日時:2021/08/28 21:12

kを実数の定数とし


f(x)=kx(1-x)
g(x)=x-f(f(x))
h(x)=x-f(x)
とすると

h(x)=0の任意の解x=aに対して
h(a)=a-f(a)=0
a=f(a)
↓これをg(x)=x-f(f(x))に代入すると
g(a)=a-f(f(a))=a-f(a)=0
だから
x=aはg(x)=0の解になるから
因数定理からh(x)の因数はg(x)の因数となる

h(x)=x-kx(1-x)
=x{1-k(1-x)}
=x(kx-k+1)

g(x)=x-f(f(x))
=x-kf(x){1-f(x)}
=x-(k^2)x(1-x){1-kx(1-x)}
=x{1-(k^2)(1-x)(1-kx+kx^2)}
=x{1-(k^2)(1-(k+1)x+2kx^2-kx^3)}
=x{k^3x^3-2k^3x^2+k^2(k+1)x-k^2+1}

↓h(x)で割り、因数分解すると

=x(kx-k+1){k^2x^2-k(k+1)x+k+1}

k=0の時
x=0がg(x)=0のただ1つの解だから正の解数0

k≠0
x1=(k-1)/k
x2={k+1-√(k^2-2k-3)}/(2k)
x3={k+1+√(k^2-2k-3)}/(2k)
とする
0,x1,x2,x3はg(x)=0の解

k<-1の時
0<x2<x1
だから正の解数2以上

k=-1の時
x1=(k-1)/k=2
x2=x3=0
だから正の解数1

-1<k<0の時
x1=(k-1)/k>0
x2,x3は虚数
だから正の解数1

0<k≦1の時
x1=(k-1)/k≦0
x2,x3は虚数
だから正の解数0

1<k<3の時
x1=(k-1)/k>0
x2,x3は虚数
だから正の解数1

k=3の時
x1=x2=x3=2/3
だから正の解数1

k>3の時
0<x1<x3
だから正の解数2以上


-1≦k<0.または.1<k≦3
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この回答へのお礼

どう思う?

話の本筋とはあまり関係ありませんが、
>因数定理からh(x)の因数はg(x)の因数となる
からといって割り切れるということにはなりませんよね。

h(x)=(x-1)^2
g(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
みたいなことがないとは限りませんので。

お礼日時:2021/08/26 19:37

まだケチつけてんのか... 本当に荒んでんな。


そんなに素晴らしい答案が自分にあるなら、それ書いて終わりでしょ?

g(x) = x(kx-k+1){k^2x^2-k(k+1)x+k+1} とした後
k^2x^2-k(k+1)x+k+1 = 0 の解を明示せずに
2次方程式の解の配置問題へ持ち込もうという話をしてるのなら、
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12536766.html のほうが
簡単で説明が短いよ。 呆れるほどセンスがないのは、誰なんだか。
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この回答へのお礼

どう思う?

その部分はなにも問題ない。
さすがmtrajcpさんです。
恐れ入りました。

そこではなく因数分解のプロセスがなんとも珍妙で、なんでこんなことになったのか不思議だから質問しているのです。

しかもさらにいえば、h(x)が重解をもつときは論理がどうなっているのか怪しい。まあ因数分解し終えた後ならなんでもいいけど。

お礼日時:2021/08/26 15:02

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