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2階微分が全ての実数に対して負である
関数 g(x) が g(0)=0 を満たすとき、
g(1) < ∫[0→1] e^x g(x) dx < g'(0)
が成り立つことの証明を教えて下さい。


三日三晩、寝食を忘れ考え続けたのですが、解決の糸口すら見つかりませんでした。また集中してペンを持ちすぎたせいか、指が腫れまして、自分がどのように考えどのようなことを調べたかここに書き込むことが不可能です。

それでも許してくれるというお優しい回答者様がもしもいらっしゃったら、教えて下さい。言うまでもなく完全解答、完全な証明を希望しております。

A 回答 (1件)

2階微分が全ての実数に対して負である


関数g(x)が
g(0)=0
を満たすとき

g(x)は上に凸の凹関数だから
0<x<1となるxに対して
g(1)x=xg(1)+(1-x)g(0)<g(x*1+(1-x)*0)=g(x)

g(1)x<g(x)…(1)

0<x<1となるxに対して
g"(x)<0だからxが増加時g'(x)は減少するからx>0だから
g'(x)<g'(0)
↓両辺を0~xまで積分すると
g(x)=g(x)-g(0)=∫_{0~x}g'(x)dx<∫_{0~x}g'(0)dx=g'(0)x
g(x)<g'(0)x
↓これと(1)から

g(1)x<g(x)<g'(0)x

↓各辺にe^xをかけると

g(1)xe^x<g(x)e^x<g'(0)xe^x

↓各辺を0<x<1で積分すると

g(1)∫[0→1](xe^x)dx<∫[0→1] e^x g(x) dx<g'(0)∫_{0~1}(xe^x)dx

∫[0→1](xe^x)dx
=[xe^x]_{0~1}-∫[0→1](e^x)dx
=e-(e-1)
=1

だから

g(1)<∫[0→1] e^x g(x) dx<g'(0)
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この回答へのお礼

天才やな

とても分かりやすかったです。
ありがとうございました。

お礼日時:2021/08/27 10:14

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