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わけあって、sin(x^2)が周期関数ではない理由について個人的に色々と考えて証明を試みたのですが、あっているでしょうか?

sin(x^2)が周期関数だとすると、
lim[t→∞]∫[0→t]sin(x^2)dx
は収束しないかあるいは0である。
しかし、よく知られているように
∫[0→∞]sin(x^2)dx=√(π/8)
よってsin(x^2)は周期的ではない。

また、先ほどもう少し高校生向けのほうがよいのではというアドバイスもいただいた(気がする)ので、さらにひとつ考えてみました。もう少し簡単になりますでしょうか?

sin(x^2)の周期をT(≠0)とすると、任意の実数xで
sin((x+T)^2)-sin(x^2)=0
が成り立つはずである。x=0とすれば
sin(T^2)=0
となる。またx=(√2)Tとすれば
sin((√2+1)^2 T^2)=0
したがってある自然数m,nが存在して
T^2=mπ かつ (3+2√2)T^2=nπ
3+2√2が無理数なので、このようなことは起きそうにもない。

またさらに、以下のような証明も思いつきましたが、あっていますか?

sin(x^2)が周期的であれば、その導関数
2x cos(x^2)
も周期的なはずである。ところが、この導関数は有界ではない。
連続関数が周期的であれば有界のはずである。
したがってsin(x^2)は周期関数ではない。

他にも証明があれば教えて下さい。

A 回答 (1件)

周期関数とするとsin((x+α)^2)=sin(x^2)


sin(x+α)^2-sin(x^2)=0
2sin((x+α)^2-x^2)/2)cos((x+α)^2+x^2)/2)=0
これはαの値によらず恒等式にはならないので周期関数でない。
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この回答へのお礼

どう思う?

どうでしょう…。それだけだとなんだか不安ですね。
私が2つ目に書いたの案ようなことが必要ではないでしょうか?

お礼日時:2021/08/26 18:02

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