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(1+x+x^2+x^3+…)(1+x^2+x^4+x^6+…)(1+x^3+x^6+x^9+…)(1+x^4+x^8+x^12+…)
の展開式の x^n の係数って
[ n^3/144 + 5n^2/48 + (15+(-1)^n)n/32 + 1 ]
になるようなのですが、どうやって求めればいいのでしょうか?

たとえば n=14 のとき
n^3/144 + 5n^2/48 + (15+(-1)^n)n/32 + 1
= 1709/36
= 47.4722…
となります。

A 回答 (6件)

またまた失礼しました。

誤ったようです。
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この回答へのお礼

ありがとう

考えていただきありがとうございました。

お礼日時:2021/08/28 12:56

|x|<1 として、与式を


 1/{(1-x)(1-x²)(1-x³)(1-x⁴)}=Σ[n=0,∞] a[n]xⁿ
とする。
 1/{(1-x³)(1-x⁴)}=a₀+(a₁-a₀)x+Σ[n=2,∞] (a[n]-a[n-1]-a[n-2])xⁿ
ここで、
 P(x)=1/{(1-x³)(1-x⁴)}
とおく。すると
 P(x)=a₀+(a₁-a₀)x+Σ[n=2,∞] (a[n]-a[n-1]-a[n-2])xⁿ
である。

ここで
 P(0)=1
 P'(x)=3x²/{(1-x³)²(1-x⁴)}+4x³/{(1-x³)(1-x⁴)²}
  → P'(0)=0

また、P'(x)以降の微分は分子が x² 以上の次数なので、必ず分子が x²
以上の次数の項の和なる。つまり
 P⁽ⁿ⁾(0)=0 (n≧1)
となる。

すると
 1=P(0)=a₀
 0=P'(0)=a₁-a₀
 0=P''(0)=2(a₂-a₁-a₀)
  ・・・・・
 0=P⁽ⁿ⁾(0)=n!(a[n]-a[n-1]-a[n-2])・・・・・・①
となる。


すると
 a₀=1
 a₁=a₀=1
  ・・・・
 a[n]=a[n-1]+a[n-2] (n≧2)
となる。

つまり、フィボナッチ数列となり解は
 a[n]=(1/√5)( {(1+√5)/2}ⁿ-{(1-√5)/2}ⁿ )

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3 …

となる。

a[14]=377
ただし、計算誤差はカットした(wiki では 377)。
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この回答へのお礼

助かりました

ありがとうございます。
こちらのベキ級数の方針の方が良さそうですね。
No.1 の回答者が言うような非現実的な方法よりも…。

お礼日時:2021/08/28 08:28

失礼しました。

思いもよりませんでした。
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この回答へのお礼

OK

ありがとうございました。

お礼日時:2021/08/27 14:33

n=1 のとき、係数は 1 だが、成り立っていない。

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この回答へのお礼

これはどう?

n=1 のとき
[ n^3/144 + 5n^2/48 + (15+(-1)^n)n/32 + 1 ]
= [ 223/144 ]
= [ 1.54… ]
= 1
ではないでしょうか?

お礼日時:2021/08/27 12:10

他の方法?


その式を思いついたってことは、導出は君自身が知ってるでしょ。
それを清書したらいいんじゃないの? 努力してみよう。
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この回答へのお礼

No

私が思いついたものではありません。
ですから導出も知りません。

お礼日時:2021/08/26 19:33

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12535479.html の No.3 に書いた
漸化式を解いて、そこに出てくる指数関数をマクローリン展開したらいい。
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この回答へのお礼

やってみます

他に方法はないのですか?

お礼日時:2021/08/26 19:21

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