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sin(x^2)が周期関数ではない理由について質問したら、以下の回答をいただきました。

周期関数とすると
sin((x+α)^2)=sin(x^2)
sin((x+α)^2)-sin(x^2)=0
2sin(((x+α)^2-x^2)/2)cos(((x+α)^2+x^2)/2)=0
これはαの値によらず恒等式にはならないので周期関数でない。

これではいくらなんでも証明としては不十分すぎると思いましたので、以下のように手直ししてみました。

周期関数とすると
sin((x+α)^2)=sin(x^2)
sin((x+α)^2)-sin(x^2)=0
2sin(((x+α)^2-x^2)/2)cos(((x+α)^2+x^2)/2)=0
解析関数の集合は整域なのでsin(((x+α)^2-x^2)/2)が恒等的に0。
が、これはα≠0ではありえない。

これならなんとか証明になっているでしょうか?

A 回答 (2件)

改訂前に 2sin(((x+α)^2-x^2)/2)cos(((x+α)^2+x^2)/2)=0


が恒等式にならないことの理由を書いていないことを
「証明としては不十分すぎる」と言っているのだろうが、
改定後も α≠0 では sin(((x+α)^2-x^2)/2)=0
が恒等式にならないことの理由を書いておらず、
その点では改訂によって何も改善していない。

どちらのギャップも No.1 に書いたように簡単に埋められるが、
そうやって埋めればよいのなら、改訂前の証明でもよいことになる。
その改定後が証明になっているというのなら、
改訂前でも証明になっているし、シンプルなだけ前のほうがよかろう
という話。
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この回答へのお礼

No

>改定後も α≠0 では sin(((x+α)^2-x^2)/2)=0
>が恒等式にならないことの理由を書いておらず、
>その点では改訂によって何も改善していない。


さすがにこれは自明かとw

お礼日時:2021/09/02 21:07

改定前のほうが素直で良かったように思う。


恒等式でないことは、
左辺の導関数に何かひとつ引数を代入して
傾きが 0 でない点があることを示して
しまえばいいだけだから、初等的で簡明だ。

一方、改定後のほうは、
「解析関数の集合は整域」などの大迎な道具を持ち出した割に
最後の所で sin(((x+a)^2-x^2)/2) が恒等的に 0 ではないことを
自明としてしまっている。 そこが自明でよいなら、
改定前の解答でも何ら問題は無いはずだ。
イチャモンをつけるにしても、いかにもバランスが悪い。
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この回答へのお礼

うーん・・・

改定前の証明になってない方が良かったということですか?w

お礼日時:2021/08/28 19:48

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