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複素数の数列{a[n]}(n=1,2,3,…)が
n→∞でαに収束するとき、
lim[n→∞](1+a[n]/n)^n=e^α
となることの証明を教えて下さい。

A 回答 (12件中1~10件)

なるほど、了解しました。

そのほうが簡単のようです。
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この回答へのお礼

助かりました

難しそうと思って敬遠していたのですが、
あなたの回答に一番参考になることが書いてありました。
早く読むべきでした。ありがとうございました。

お礼日時:2021/09/12 19:26

なお、#8さんの方法は納得できます。

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この回答へのお礼

ありがとう

性懲りもなく考えていたら、少しだけ進歩して、以下に到達しました。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12572633.html

お礼日時:2021/09/14 18:48

a,bが整数でない場合、


 (z^a)^b=z^(ab)
とはできません。

主値を使う場合も、うまく説明できませんが違和感があり、可能かどうか
私には判断できません。

そのような、不安なしで議論しました。
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この回答へのお礼

どう思う?

eª = (e^(a/n))ⁿ
を気にしておられるということですよね?

まずe^(a/n)は定義から
e^(a/n)=Σ[k=0,∞](a/n)^k/k!
で定義します。

複素指数関数e^zは、指数法則e^(z+w)=e^z e^wが成り立つので、
(e^(a/n))ⁿ
= e^(a/n) e^(a/n) …n個… e^(a/n)
= e^(a/n + a/n + …n個… +a/n)
= eª

となり、問題ないのでは…?

お礼日時:2021/09/12 19:09

1-(1/2)w+(1/3)w²-(1/4)w³+・・・は収束半径1のべき級数


つまり複素平面上|w|<1内で収束するべき級数です。
だからべき級数に関する定理により同じ領域内でwの連続関数です。
したがってw→0でこの級数は
1-(1/2)0+(1/3)0²-(1/4)0³+・・・=1二収束します。
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この回答へのお礼

Thank you

あ、なるほど。
|(n+2)/(n+1)|→1 (n→∞)なのでダランベールの公式から収束半径が1。
|w|<1で正則なので、連続になるのですね。
ありがとうございました。

なんとか理解できたように思いますが、それにしても高度な解き方でした…。
最初にお伝えすべきでした。教科書で複素対数関数が出てくるよりはるか前のセクションの演習問題なのです…。

お礼日時:2021/09/12 15:43

複素関数の性質を使う:


複素対数関数の1価の枝を実数x>0で実数logxになるようにとり
それをLogであらわす。すると複素平面上|z|<1で
(1+z)^nとe^(nLog(1+z))は正則でz=x、0<x<1では
両者は等しいから一致の定理より|z|<1で
(1+z)^n=e^(nLog(1+z)) 。
さて
a[n]は収束だから有界で、ある番号からさきのnについて
|a[n]/n|<1と考えてよいから、このようなnについてだけ考えると
上式より
(1+a[n]/n)^n=e^(nLog(1+a[n]/n))
右辺のeの指数部分をLogのマクローリン展開を使って展開して
整理すると
nLog(1+a[n]/n)
=a[n]{1-(1/2)w+(1/3)w²-(1/4)w³+・・・}ただしw=a[n]/n
となりしたがってn→∞のとき
a[n]→α、w→0、これとべき級数の連続性から
eの指数部分→α
ゆえに表題の結論が出ます。
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この回答へのお礼

うーん・・・

w→0のとき
1-(1/2)w+(1/3)w²-(1/4)w³+…→1
になるのはなぜですか?
これだけだと、無限の和と0への極限を交換しているように見えます。
つまり、
lim[w→0]1-(1/2)w+(1/3)w²-(1/4)w³+…
=1-(1/2)lim[w→0]w+(1/3)lim[w→0]w²-(1/4)lim[w→0]w³+…
=1
としているように見えますが、どうやって正当化しているのですか?

お礼日時:2021/09/11 19:56

ダウトも何も、


私が問題点は (1+a[n]/n)^n = ( (1+1/x)^x )^a[n] だと指摘したのではなく、
君が「その変形」がどの変形かを明らかにしないから、推測しただけだよ。
いつものはぐらかしかただな。しょうもない。
そこは「ダウト」ではなく、「ハズレ」が正しい。何も嘘はついてないから。

> いまは
> ((1+1/x)^x)^a[n]=((1+1/x)^(x a[n])
> が成り立つかどうかという話なのだから、

そいつは初耳だが、
No.6 で (1+a[n]/n)^n = ( (1+1/x)^x )^a[n] が成り立つ理由を
既に説明しているから、
No.1 の計算の説明は、それで十分なのでは?
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この回答へのお礼

・・・。

さすがに無茶苦茶すぎます。

ひとつ確認してもよろしいでしょうか?
もしかして、ご自分でも間違っていると分かっているのに、意地を張ってませんか?
間違ってしまったが、強弁すればなんとか誤魔化せるかもしれないと、強行突破しようとしていませんか?
ムキになっていませんか?

そのような行為は、質問者の疑問解決を阻害していると見做され、明らかにガイドライン違反に該当します。

間違っていると自分で気付いているなら、早めに申し出て謝罪した方がよろしいかと思います。

お礼日時:2021/09/09 19:36

> その変形が問題ないのはあなたの頭の中だけでの話です。


> 教科書で指数法則を勉強し直して下さい。

例によって舌足らずだが、「その変形」というのは
(1+a[n]/n)^n = ( (1+1/x)^x )^a[n] のことかな?

n が自然数なので、複素範囲でもその変形に問題は無い。

複素羃乗は、x^y = e^(y log x) で定義されるが、
複素 log が多価性を持つために y が整数でない場合には
x^y の値は一意には決まらず、枝の指定が必要になる。
これをエンガチョに思って、複素指数対数の計算を全て
敬遠してしまう怠け者は少なくないが...

(1 + a[n]/n)^n = exp{ n log(1 + a[n]/n) }
        = exp{ n { Log(1 + a[n]/n) + 2πik } }
        = exp{ (n・a[n]/a[n]) Log(1 + a[n]/n) + n・2πik }
        = exp{ a[n] Log(1 + a[n]/n)^(n/a[n]) }・exp{ n・2πik }
        = { (1 + a[n]/n)^(n/a[n]) }^a[n]・1
        = { (1 + 1/x)^x }^a[n]
ただし、
log は複素多価の対数、Log はそのひとつの枝、
k は任意の整数、x = n/a[n]。

n・2πik が 2πi の整数倍であるため、
任意の整数 k ついて exp{ n・2πik } = 1 となり、
右辺に多価性は生じない。よって、
(1 + a[n]/n)^n = { (1 + 1/x)^x }^a[n] でよい。

「複素数では指数法則は成立しない」を、ただ標語のように
覚えていたのでは、駄目だ。
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この回答へのお礼

うーん・・・

>(1+a[n]/n)^n = ( (1+1/x)^x )^a[n] のことかな?
>n が自然数なので、複素範囲でもその変形に問題は無い。

ダウト。

いまは
((1+1/x)^x)^a[n]=((1+1/x)^(x a[n])
が成り立つかどうかという話なのだから、nが自然数であることは無関係。
xもa[n]も複素数。


>= exp{ (n・a[n]/a[n]) Log(1 + a[n]/n) + n・2πik }
>= exp{ a[n] Log(1 + a[n]/n)^(n/a[n]) }・exp{ n・2πik }

さすがにこれは酷すぎる。

お礼日時:2021/09/08 21:12

←No.3


今回は、はぐらかして煽り続けるのでなく、
疑問点が端的に言えたね。改善が見られるな。

x が複素変数でも、
(1+a[n]/n)^n = ( (1+1/x)^x )^a[n] という変形はできるし、
lim[x→∞] (1+1/x)^x = e だから、No.1 で特に問題ない。

lim[x→∞] (1+1/x)^x = lim[h→0] (1+h)^(1/h) :h=1/x
          = lim[h→0] exp log (1+h)^(1/h)
          = lim[h→0] exp (1/h)log (1+h)
          = exp lim[h→0] (1/h)log (1+h)
          = exp lim[h→0] (1/h){ log (1+h) - log(1+0) }               = exp log’(1)
          = exp 1
          = e.

実変数 x に対して lim[x→-∞] (1+1/x)^x を計算したときも、
こんな話は出てきたろう?
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この回答へのお礼

どう思う?

はぐらかすのはやめて下さい。
なぜあなたには改善というものが見られないのですか?
いつものことながら煽り続けるだけで、質問者の疑問の解決につながることが何一つありゃしない。

その変形が問題ないのはあなたの頭の中だけでの話です。
教科書で指数法則を勉強し直して下さい。

お礼日時:2021/09/08 10:01

1.


定義 e^z=Σ[k=0,∞] z^k/k!・・・・①

これは収束するので、コーシー列の性質から
 ∀ε>0, ∃n₀>0, n>n₀ → Σ[k=n₀+1,n] z^k/k! < ε/3
すなわち
 ∀ε>0, ∃n₀>0 → Σ[k=n₀+1,∞] z^k/k! ≦ ε/3・・・・②

 fn(z)=(1+z/n)ⁿ , a[n] → a とする。


2.
 fn(z) → e^z を証明(解析入門Ⅰ、杉浦)・・・・・③

 fn(z)=Σ[k=0,n] nCk (z/n)^k
ここで
 u[n,k]=nCk (z/n)^k
とおくと
 fn(z)=Σ[k=0,n] u[n,k]
であり
 u[n,k]=(z^k/k!)Π[m=1,k-1] (1-m/n) ・・・・・・④
また
 |u[n,k]|=(|z|^k/k!)Π[m=1,k-1] |1-m/n|
     ≦|z|^k/k!

すると
 |fn(z)-Σ[k=0,n₀] u[n,k]|=|Σ[k=n₀+1,n] u(n,k)|
     ≦Σ[k=n₀+1,n] |u[n,k]|≦Σ[k=n₀+1,n] |z|^k/k!
     <ε/3・・・・・・⑤
ここで、②を使った。

④において、n→∞とすれば (1-m/n) → 1 なので
 u[n,k] → z^k/k!
となる。すると、
 ∀ε>0, ∃n₁>0, n>n₁ → |u[n,k]-z^k/k!| < ε/(3n₀)
     → Σ[k=0,n₀] |u[n,k]-z^k/k!| < ε/3・・・・・・⑥

以上まとめると、n>max{n₀,n₁} とすれば
 |fn(z)-Σ[k=0,∞] z^k/k!|
  ≦|fn(z)-Σ[k=0,n₀] u[n,k]|+|Σ[k=0,n₀] u[n,k]-Σ[k=0,n₀] z^k/k!|
   +|Σ[k=0,n₀] z^k/k!-Σ[k=0,∞] z^k/k!|

   =|fn(z)-Σ[k=0,n₀] u[n,k]|+Σ[k=0,n₀] |u[n,k]- z^k/k!|
    +|Σ[k=n₀+1,∞] z^k/k!|<ε (②⑤⑥から)
①から
 |fn(z)-e^z|<ε・・・・・⑦
したがって、③が証明された。


3.
 a[n] → aのとき
 ∀ε>0, ∃n₂>0, n>n₂ → |fn(a[n]) - fn(a)|<ε・・・・⑧
を証明する。

a[n]は収束するので
 |a[n]|≦b
である。

max{a,b}を新たに bと置く。すると
 |1+a[n]/n|≦1+|a[n]/n|≦1+b/n
 |1+a/n|≦1+b/n

 |fn(a[n]) - fn(a)|=|(1+a[n]/n)ⁿ-(1+a/n)ⁿ|
  =(|a[n]-a|/n) |(1+a[n]/n)ⁿ⁻¹+(1+a[n]/n)ⁿ⁻²(1+a/n)+
    ・・・+(1+a[n]/n)(1+a/n)ⁿ⁻²+(1+a[n]/n)ⁿ⁻¹|
   ≦(ε/n)n(1+b/n)ⁿ⁻¹

ここで
 (1+b/n)ⁿ⁻¹ → e^b
だから、n>n₂のとき
 (1+b/n)ⁿ⁻¹ < 2e^b
とできる。すると
 |a[n]-a|< ε/(2e^b)
とできるので
 |fn(a[n]) - fn(a)|<ε
となり、⑧が証明された。


4.
⑦⑧から
 |fn(a[n])-e^a|≦|fn(a[n])-fn(a)|+|fn(a)-e^a|≦2ε
よって
 lim[n→∞](1+a[n]/n)^n=e^a
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この回答へのお礼

どう思う?

3. の |fn(a[n]) - fn(a)| の部分って、はじめから |fn(a[n]) - eª| では出来ないのでしょうか?

|fn(a[n]) - eª|
= |(1+a[n]/n)ⁿ - (e^(a/n))ⁿ|
= |1+a[n]/n - e^(a/n)|
  × |(1+a[n]/n)ⁿ⁻¹ + (1+a[n]/n)ⁿ⁻²(e^(a/n)) + …
     … + (1+a[n]/n)(e^(a/n))ⁿ⁻² + (e^(a/n))ⁿ⁻¹|

ここで2つ目の絶対値は
|1+a[n]/n|≦1+|a[n]/n|≦1+b/n≦e^(b/n)
|e^(a/n)|≦e^(|a|/n)≦e^(b/n)
で評価すると
|2つ目|≦n(e^b/n)^(n-1)≦ne^b

1つ目は (a≠0 のときは十分大なるnで a[n]≠0 で)
|1+a[n]/n - e^(a/n)|
= |a[n]/n| |1 - (e^(a/n)-1)/((a/n)-0) × a/a[n]|
≦ b/n |1 - (e^(a/n)-1)/((a/n)-0) × a/a[n]|

よって全体としては
|fn(a[n]) - eª|
≦ be^b |1 - (e^(a/n)-1)/((a/n)-0) × a/a[n]| …(♪)
と評価できる。

ここで、a/nは0へ向かう複素数列であるから
(e^(a/n)-1)/((a/n)-0) → 1 (e^zのz=0での微分の定義)
また、a/a[n]→1 だから
|1 - (e^(a/n)-1)/((a/n)-0) × a/a[n]| → 0

したがって、(♪)→0。
∴ fn(a[n])→eª

どうでしょうか?

お礼日時:2021/09/12 18:05

どこがどう間違ってるのか、指摘してごらん。

(ヒントは No.2)
人を煽るのは、それができるようになってから。
頑張んなさい。
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この回答へのお礼

どう思う?

>n→∞ のとき x→±∞ (正負は α の正負による)。
αは複素数なのに、正負などと言われても意味不明。

>(1+a[n]/n)^n = (1+1/x)^(x a[n])
>      = ( (1+1/x)^x )^a[n]

複素数でこんなことできるの?

頑張って下さい。

お礼日時:2021/09/07 19:16

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