出目の確率問題です。

勝ったら○、負けたらXがでるゲームがあります。
過去の実績は○が59回、Xが16回,、Xが2回連続しているケースが2回ありました。　
このゲームを今後も続けていく場合、Xが3回連続して出現するために必要なゲーム回数を教えてください。
また、Xが4回連続して出現するために必要なゲーム回数、Xが5回連続して出現するために必要なゲーム回数を教えて下さい。

質問者からの補足コメント

• ○とｘはその時々に勝負の強さによって変わりますので均等な考えでは出目は分かりません。　過去の○とXの出方から ゲームを何回続ければ、Xが3回（4回、5回）連続する事象が発生する可能性があるか、教えて頂きたく。。。
  以上、宜しくお願い致します。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/09/07 17:16

• 

  ご回答を頂きまして有り難うございます。
  ①、②につきまして、過去Xが３回以上続くことはありませんでした。
  過去データを記載します。（データは１回追加されました。）順番は横書きです。
  ○ X ○ X ○ ○ ○ X ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ X ○ ○ X ○ ○ ○ X ○ X ○ X ○ ○ X ○ ○ ○ ○ ○ ○ X ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ X ○ X ○ ○ ○ X X ○ ○ ○ ○ ○ ○ X X ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ X ○ X
  ③専門的な事は分かりませんので特に要望はありません。
  このゲームを今後も続けて行った場合、Xが３、４，５連続するケースが発生する可能性を知りたいと考えております。
  ご面倒をお掛けしますが、宜しくお願い致します。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/09/08 06:43

No.3 ベストアンサー 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/09/08 09:51

#2です。

前半の解が出ました。
シミュレーションの結果、母確率ｐ＝0.213であると分かりました。16/75に近いですがやや小さめです。75回の反復測定を１回の観測とすると、該当する観測事実が生起する確率は約3.5％しかありません。実は連続当選は後半の結果より3回程度起きるのが普通だからです。ですからｐはやや小さめになると思われます。
シミュレーションのプログラムと結果のグラフは、最後に添付します。

さて、後半ですが、公式があります。↓を参照下さい。
http://zakii.la.coocan.jp/enumeration/33_bernoul …

これに基づき計算すると「確率pで起きる事象が連続してk回起きるまでの試行回数の期待値」は次のとおりです。

k　 En
1 　4.694836e+00
2 　2.673632e+01
3 　1.302175e+02
4 　6.160444e+02
5 　2.896922e+03
6 　1.360527e+04
7 　6.387919e+04
8 　2.999070e+05
9 　1.408019e+06
10 　6.610421e+06


シミュレーションのRスクリプト

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

# 〇59個、×16個、×連続2回という観測はｐをいくらにすれば一番発生しやすいか

rm(list = ls())

n <- 75
pos <- 16
dup <- 2
sim <- 100000

pro <- seq(0.05, 0.40, by = 0.01)
cnt.prob <- NULL

for(p in pro){
j <- 0
cnt <- 0

while(j < sim){
x <- sample(c(0,1), size = 75, replace = TRUE, prob = c(1 - p, p))
result1 <- sum(x) == 16
x <- append(x, 0)
result2 <- sum(x[1:74] * x[2:75] * (1 - x[3:76])) == 2
cnt <- cnt + result1 * result2
j <- j + 1
}

cnt.prob <- append(cnt.prob, cnt / sim)
}

plot(pro, cnt.prob, pch = 16, ylim = c(0, 0.04))
d <- smooth.spline(pro, cnt.prob, spar = 0.4)
dx <- seq(0.1, 0.35, by = 0.001)
dy <- predict(d, dx)
lines(dy$x, dy$y)

abline(v = dy$x[which.max(dy$y)], col = 2)

この回答へのお礼

ご回答を頂きまして誠に有り難うございます。
解法の経過につきましては、皆目分かりかねますので申し訳ありません。
結果についての確認ですが、75回中Xが15回出現するゲームにおいて、XがK回連続で出現するゲーム回数は、例えば、Kが3とすれば実行するゲームの回数は、130ｘ75＝9,750回行うと、Xが3回連続ででる可能性があると、言う理解で間違いないでしょうか。

ゲームを始めた頃はXが連続することはなく、始めてXが2回続いたのはゲーム回数が57回目でした。今後Xが3回連続する事象が出現するまでに9,750回ゲームを行う事が必要とのことですと、感覚的には随分多い回数と感じました。

答えが出るのかどうか分からずに質問させて頂きましたが、きちんと回答を出して頂きまして有り難うございました。
専門の方のすごさが分かり、今後も分からないところがありましたら質問させて頂きたいと思いますので宜しくお願い致します。
有り難うございました。

お礼日時：2021/09/08 13:50

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/09/08 12:46

#3です。

#3は、たった１回の観測に沿って、それが実現するように確率値を決めました。ですが、そもそもその観測は偶発的なものだったかもしれません。
そのためには、「ある確信度の経験的確率」あるいはその情報が無ければ「まあ普通はこんなもんだよね」というような事前確率が、観測という条件付き確率によって修正される、というベイズ推定を使うべきであると考えます。

ベイズ推定ですが、#2の投稿にあるグラフ（尤度）になんらかの分布関数を与えなければなりませんが（多分、ベータ分布）、その確認が必要です。

あと、私事ですがR本体をバージョンアップしたら、RStanが動かなくなったので、その修復も必要です。（RStanはベイズのMCMCのソフトです）

今回、ベイズ推定は個人的興味として取り組みますが、投稿は見送らせて下さい。

この回答へのお礼

>そのためには、「ある確信度の経験的確率」あるいはその情報が無ければ
>「まあ普通はこんなもんだよね」というような事前確率が、観測という条件>付き確率によって修正される、というベイズ推定を使うべきであると考えま>す。
1回切りのデーターで言い切る事が出来ないことは理解出来ますので、いつの日か変わったデーターが出た場合は、又ご相談をお願いするかもしれませんが,取り敢えず今回はここで終了とのことで承知しました。
貴重なアドバイスを頂きまして誠に有り難うございました。

お礼日時：2021/09/08 20:43

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/09/08 04:12

非常に興味深い問題です。

これは、75回の反復試行という観測を１回だけ行った、という状況から尤度関数を作って母確率ｐを推定し、そのｐを使って所定の連続発生が出現するまでの試行回数の期待値を求める問題ですね。

後半は公式があるのですが、前半は思案中です。そこで、コンピュータ・シミュレーションにより、当選確率ｐを振ってその観測の発生しやすさを計算してみたいのですが、すみませんが、その際の詳細条件をお聞かせください。

①75回の反復試行中の２回連続の発生数ですが、ＸＸとＸＸのみをカウントするのであって、ＸＸＸを２回とカウントしてはいけないのですね。

②また上記に関連して、75回の反復試行中、３連続以上は一切発生していないのですね。

③最尤推定を行え、とかベイズ推定を行え、という条件は無いのですか。


※〇59個、×16個、×連続２回という観測事実が、ｐをいくらにすれば一番発生しやすいか、という問題として解くのだと思います。
シミュレーションではｐを振りながらこの反復試行を何万回も乱数発生させ、条件（〇59個、×16個、×連続２回）に合致するケースの発生数を調べます。
つまり、横軸ｐ＝０～１までの軸とすると、縦軸にその観測の発生回数が曲線となってプロットされるのですが、それが最大になるときのｐが求めたい値です。

※この逆推定の方法には、最尤推定とベイズ推定があるのですが、両方やってみる必要があると思います。

※理論的な生起確率を式で表すことができれば、最尤推定であればｐで微分して０と置いて解くだけですが、その理論式が私には分からないのです。

No.1 回答者： ほゆれわん 回答日時： 2021/09/07 02:16

過去のゲーム数合計が75回（だいたい80回）

×は16回（だいたい20回）

4回やれば1回×だ
１～４のカードをランダムに引いて
同じカードを続けて引く確率は1/4

ここで矛盾