(n+1)∫[0,π/2] sinⁿ⁺¹x dx > n∫[0,π/2] sinⁿx dx の証明

(n+1)∫[0,π/2] sinⁿ⁺¹x dx > n∫[0,π/2] sinⁿx dx (n≧0)
を証明してください。

質問者からの補足コメント

• nは０以上の整数です。

    補足日時：2021/09/08 17:23

No.1 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2021/09/09 22:20

有名な漸化式

（n+1)∫[0,π/2] sinⁿ⁺¹x dx＝ｎ∫[0,π/2] sinⁿ⁻¹x dx　において
[0,π/2]で1≧sinｘ≧0より sinⁿ⁻¹x≧ sinⁿxだから
∫[0,π/2] sinⁿ⁻¹x dx≧∫[0,π/2] sinⁿx dxになるけど
たとえばｘ＝π/6でsinⁿ⁻¹x＞ sinⁿxだから
∫[0,π/2] sinⁿ⁻¹x dx＞∫[0,π/2] sinⁿx dxとなります。
したがって結論に至ります。

この回答へのお礼

素晴らしいです。
昔、このサイトで出た問題で回答が無く流れました。
私はもっと複雑でごたごたした解法を考えたのですが、脱帽です。＼(^O^)／

お礼日時：2021/09/10 00:14