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群の定義について。 以下は群のよくある定義の一部です。 (1)ある元0∈Gが存在して、全てのg∈Gに対してg+0=0+g=gが成り立つ。 (2)各g∈Gに対して、g+x=x+g=0を満たす元xが存在する。 ここで、(1)は∃0∈G∀g∈G[g+0=0+g=g]と書け、(2)は∀g∈G∃x∈G[g+x=x+g=0]と書ける。(1)の0と(2)の0の意味は全く異なる。(1)の0は∃によって束縛されている。(2)の0は固定されている。 では、(2)の0は何なのか? (1)を見ただけでは、(1)を満たす元0は複数個あるかもしれない。(1)を満たす全ての元0に対して(2)が成り立つのか?(1)を満たすある元0に対して(2)が成り立つのか?(1)を満たす任意の元0を一つ取って固定し、それに対して(2)が成り立つのか? 多くの本では、(1)の定義をした直後に、単位元の一意性を証明しても循環論法にはならないのにも関わらず、(2)の後に(1)を満たす元の一意性(単位元の一意性)を証明している。 (2)の0は何なのでしょうか?定義として間違っているのではないでしょうか? 以下の定義の仕方であれば、理解できます。 (A) (1)の定義の直後に一意性を示す。 (B) (R,•,0)のように定義する。

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A 回答 (3件)

おっしゃる通り。

「(A) (1)の定義の直後に一意性を示す。」が(ごく簡単な証明なのだから)スッキリしてると思います。
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(1)(2)だけでは群にならないけど、残りの公理は大丈夫?



G が群であれば、(1)を満たす 0 は唯一であることが証明できるから、
それを示してから(2)を書いてもいいし、あるいは、
(2)を「(1)を満たす任意の 0 について∀g∈G∃x∈G[g+x=x+g=0]」
と解釈して先に書いてもいい。
どっちだって、得られる群の定義は同値だから、
書き順に拘ってもあまり意味がない。
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この場合は



(1)を満たす全ての元0に対して(2)が成り立つ


解釈すべきだと思います
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