【iOS版アプリ】不具合のお知らせ

nを自然数、iを虚数単位とします。
あるトンデモ回答者が、以下の式変形が正しいと言い張っていて、困っています。

(1+i/n)^n = ((1+i/n)^(n/i))^i

このような変形は、果たして本当に可能なのでしょうか?
複素数の指数に詳しい方がいらしたら、是非教えて下さい。

別に他の虚数でもかまいません。
ωを1の原始3乗根として

(1+ω/n)^n = ((1+ω/n)^(n/ω))^ω

なんてことが許されるのでしょうか?

A 回答 (11件中1~10件)

> (1^2)' は書くんですか?



書かないよ。 君は f’(1) は書かないのか?
もう、こんなことはいいかげんにしなさい。
無駄な応答が多くなれば、
君が回答を理解できずに煽り続けていたことが
埋もれて目立たなくなると思っているのかもしれないが。
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この回答へのお礼

どう思う?

>君は f’(1) は書かないのか?
問題に表記があれば書きます。
自分から書くことはないです。
(1^2)' は書かないのに log’(1) は書くんですね。なぜですか?

>やはり君に読む能力が無かっただけか。
ですから申し上げているでしょう?


もしご自身の方法がすばらしいと思うのなら、私ではなく世に問うてみてはいかがですか?
私のような理解力に乏しいのが相手ではあなたも大変でしょう。
あなたのワイルドな式変形を受け入れてくる人も世界を探せばいるかもしれませんよ。
幸いTacosanのような理解者もいるみたいですし。

今回は申し訳なかったですね。
粗野でありながらも力強い式変形を受け入れてあげられなくて。
どの教科書にも載っているような普遍的で正統な数学しか受け入れてあげられなくて。


もしもこれ以上続けたいなら
任意の (0 でない) 複素数 α と十分大きな全ての正整数 n に対して、
なぜ Im((n/α) Log(1+α/n))∈(-π,π] と言えるのか、
説明してからにして下さい。

お礼日時:2021/09/14 18:53

←No.8 補足


いろいろと常識が足りないところがあるようだね。

> ただの複素平面の話で、複素変数xについてx→∞なんて書くことあるんですか?

x が複素変数のとき、 x→+∞ や x→-∞ はアリエナイが、
x→∞ は普通に使う。 複素平面をリーマン球面に拡張して考えるのだが、
慣れなければ、|x|→∞ の略記だと思ってもいい。

> >= exp log’(1)
> >= exp 1
> これにはたまげました。
> log(1)(=定数)を微分すると0になるのでは…?

これは、流石に論外。 f’(1) くらい見たことがあるでしょう。
f’(1) は定数 f(1) を微分して 0 ですか? 馬鹿いうんじゃないよ。

回答が杜撰なんじゃなくて、やはり君に読む能力が無かっただけか。
上記のようなことを言ってるようでは、中高の教科書以外のものを
読むのは難しかろうと思うが。

結局、最後まで、ただはぐらかすだけで
No.6 No.5 のどこが間違いだと思うのか指摘できずに終わりか。
まあ、そうだろうとは思っていたけどね。
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この回答へのお礼

どう思う?

(1^2)' は書くんですか?

お礼日時:2021/09/14 18:40

主値を取るなら  ((1+ω/n)^(n/ω))^ω で議論することが変。


あくまでも、z^a ⇔ e^(aLog z) で議論するべきと思う。
つまり
 (1+ω/n)^(n/ω) ⇔ e^{(n/ω)Log(1+ω/n)}
 {(1+ω/n)^(n/ω)}^ω) ⇔ e^[ωLog e^{(n/ω)Log(1+ω/n)}]
です。

つまり、Im((n/α) Log(1+α/n))∈(-π,π] であるか、確かめるもので
はなく、Log e^{(n/ω)Log(1+ω/n)} として、主値の範囲に決める
ものと思います。

さらに、こんな事をするまでもなく、 syotaoさんのように
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12558250.html

 (1+ω/n)^n=e^{nLog(1+ω/n)}
で完了しているものと考えます。
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> そもそもあなたは複素数 x が |x|→∞ のとき


> (1 + 1/x)^x→e であることをどうやって示したんですか?

それの証明は、更に前
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12558250.html
No.5 に書いた。
読んでないか、読んでも解らなかったんだろうけど。
No.5 への「お礼」欄も、実に無内容だった。
再録しようか?

> はぐらかすのはやめて下さい。
> なぜあなたには改善というものが見られないのですか?
> いつものことながら煽り続けるだけで、
> 質問者の疑問の解決につながることが何一つありゃしない。

> その変形が問題ないのはあなたの頭の中だけでの話です。
> 教科書で指数法則を勉強し直して下さい。

どうやって示したかに目を通していれば、
多少はマシな反論が書けていたことだろう。

> ここでも分かりやすく間違いを指摘しているのに

へー、どこに?
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この回答へのお礼

うーん・・・

あらためてNo.5を拝読してみました。

>x が複素変数でも、… lim[x→∞] …
ただの複素平面の話で、複素変数xについてx→∞なんて書くことあるんですか?

>= exp log’(1)
>= exp 1
これにはたまげました。
log(1)(=定数)を微分すると0になるのでは…?
こんな書き方するんですかね?
f'(1)などは見ますが、これは私は初めて拝見しました。
x^2のx=1における微分の値なども(1^2)'と書いておいでなのですか?

…とまあこの調子で、ほとんど至るところ杜撰、どうしたもんだかなあといった感じです。
「読んでないか、読んでも解らなかった」のではありません。
このような読むに耐えないものを私の脳の中に留めておくことが不可能だっただけです。

>へー、どこに?
正直言って、まともな回答者が優れた回答を2つ寄せて下さったし、私自身の考えも進んでいるので、これ以上トンデモ回答と向き合う必要がなくなりつつあります。気になるのであれば、Tacosanがお茶を濁しているところをよく考えてみては?
そして、もしご自身の方法がすばらしいと思うのなら、私ではなく世に問うてみてはいかがですか?
私のような理解力に乏しいのが相手ではあなたも大変でしょう。
あなたのワイルドな式変形を受け入れてくる人も世界を探せばいるかもしれませんよ。
幸いTacosanのような理解者もいるみたいですし。

今回は申し訳なかったですね。
粗野でありながらも力強い式変形を受け入れてあげられなくて。
どの教科書にも載っているような普遍的で正統な数学しか受け入れてあげられなくて。

お礼日時:2021/09/14 18:25

特に「取り消す」必要はないと思う>#5. つまるところ, 「べき乗」の定義に依存するって話だから. あえていうなら「べき乗の定義を明確にしてから書けば完璧」というくらい.




Im((n/α) Log(1+α/n))∈(-π,π]
については... まあ, まじめに計算するだけだよ. α = a+ib (a と b は実数で同時には 0 でない) とおいたうえで n も適切な範囲の実数としてやっていけば高校数学の範囲でいける.

もう 1つの方は「この質問」とは無関係だね.

あとついでにいうと「どこがどう間違ってると思うのか指摘できなかった」という指摘はちょっと甘やかしすぎではないかと>#6. 「どこがどう間違っているのか指摘できなかった」というべきでは. もっとも, 「6×6×2」や「6×4」の意味を書けなかったという事実を考えると, ねぇ....
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この回答へのお礼

どう思う?

>「べき乗の定義を明確にしてから書けば完璧」
私は十分大きな正の整数ではなく、全ての自然数、全ての0でない複素数について聞いています。

>まあ, まじめに計算するだけだよ.
その計算を具体的に教えて下さい、という質問ですよ。手抜き回答、はぐらかしはやめて下さいね。
何度も言いますけど質問者への嫌がらせはやめましょうね。いい歳こいたおじさんのすることではないと思います。

>もう 1つの方は「この質問」とは無関係だね
まあ、本人が乱入してきたのでここでは答えにくいでしょうねw

>「どこがどう間違っているのか指摘できなかった」というべきでは.
笑わせていただきましたw
ご本人にご自分で間違いに気付いていただけるよう願っております。

>もっとも, 「6×6×2」や「6×4」の意味を書けなかったという事実を考えると, ねぇ....
なぜここに異様にこだわっているのか知りませんが、こんな簡単なことを説明してもらわないと分からないのであれば、回答者をやめた方がいいのでは?
他の回答者は意味を即座に理解されているようですが…?

お礼日時:2021/09/13 05:12

トンデモ回答者登場。


ははは... 今日の敵を明後日で取ろうとしているね?

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12558250.html
No.6 の証明に対して、「さすがに無茶苦茶すぎます。
もしかして、ご自分でも間違っていると分かっているのに、意地を張ってませんか?」
とだけ切り返して、どこがどう間違ってると思うのか指摘できなかったね。
今回、No.2 には答えられるの?

とりあえず、 No.4 No.5 は賛成意見のようだけど。
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この回答へのお礼

No

トンデモさん、いい加減にしましょうね。
ここでも分かりやすく間違いを指摘しているのに、よく出てこられますよね。

そもそもあなたは複素数 x が |x|→∞ のとき(1 + 1/x)^x→eであることをどうやって示したんですか?
思い込みで勝手に使ってるようですけどw

あなたにどれほど読解力があるか知りませんが上でタコさんが
>もう 1つの方は「この質問」とは無関係だね.
と書いてるのは、あなたを擁護できないということです。あなたが無茶苦茶すぎる、ということです。

お礼日時:2021/09/13 04:46

#3を取り消します


#4の方が正しいです
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べき乗を指数関数と主値対数関数


https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%BB%E5%80%A4 …
を使って定義するなら, 任意の正整数 n に対して
(1+i/n)^n = [(1+i/n)^(n/i)]^i
が成り立つ. もっといえばその場合任意の (0 でない) 複素数 α と十分大きな全ての正整数 n に対して
(1+α/n)^n = [(1+α/n)^(n/α)]^α
がいえる.
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この回答へのお礼

どう思う?

それでは2つ質問します。

任意の (0 でない) 複素数 α と十分大きな全ての正整数 n に対して、なぜ
Im((n/α) Log(1+α/n))∈(-π,π]
と言えるのですか?

また、べき乗を指数関数と主値対数関数 を使って定義する として、かりに
(1+i/n)^(n/i)→e (n→∞)
が言えているとします。このとき、対数の枝など問題にならない (1+i/n)^n について一般的に、
(1+i/n)^n→e^i (n→∞)
が上のことから言えるのでしょうか?それともこれは、「べき乗を指数関数と主値対数関数 を使って定義する」場合にのみ言えるにとどまるのでしょうか?

お礼日時:2021/09/12 11:11

{(1+i/n)^(n/i)}^i


=(e^{(n/i)log(1+i/n)})^i
=(e^{(n/i)log(1+i/n)+2πmi})^i
=e^{(in/i)log(1+i/n)+2πmii}
=e^{n log(1+i/n)-2πm}
=e^{log(1+i/n)^n}e^{-2πm}
={(1+i/n)^n}e^(-2πm)
≠(1+i/n)^n

(1+i/n)^n = ((1+i/n)^(n/i))^iのような変形は不可能と思います
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「トンデモ回答者」が「トンデモ」であることくらい, 自分で示せよ.

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この回答へのお礼

どう思う?

はいはい、嫌がらせはそのへんでやめて下さいねTacosan。

私はトンデモだと思う根拠を、怪しげな式変形を挙げて提示しています。
Tacosanがもしもトンデモではないとお考えなら、その根拠を示していただけます?

>とりあえず
>複素数におけるべき乗
>の定義を書いてからの話だろうなあ.

複素数のべき乗くらいどの教科書にも載っていますよ?
知らないならまず自分で調べましょうねw。
トンデモの擁護のために珍妙な定義を使用したいなら、まずあなたがその定義を明示しなさい。

お礼日時:2021/09/11 00:16

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