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スカラー場が
  f(x,y) = x^2 + y^2
で与えられているときの勾配∇fは
  ∇f = (2x, 2y)
なので
  |∇f| = 2√(x^2+y^2) ・・・・・(1)

 一方 f の全微分は
  df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy
   = (∂f/∂x, ∂f/∂y)(dx, dy)
なので r↑= (x, y) とすると
  df = ∇f・dr↑= |∇f||dr↑|cosθ
 dr↑の向きが∇fと等しいときは
  df = |∇f||dr↑|
  ∴|∇f| = df/|dr↑|・・・・・(2)

 (2)から(1)の結果を出せますか?

A 回答 (1件)

意味不明ですが。


rをパラメータt表示すると
 r(t)=<x(t),y(t)>
 dr/dt=<dx/dt,dy/dt>

 df(x(t),y(t))/dt=(∂f/∂x)dx/dt + (∂f/∂y)dy/dt
=<∂f/∂x, ∂f/∂y>・<dx/dt, dy/dt>

∇fとdrの方向が一致するときは
 ∇f=dr/dt=<dx/dt, dy/dt>
に選べる。

すると
 |dr/dt|=|∇f|
 df/dt=∇f・∇f=|∇f|²

 df/|dr|=(df/dt)/|dr/dt|=|∇f|=√{(∂f/∂x)² + (∂f/∂y)²}
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この回答へのお礼

ありがとうございました。助かりました。

お礼日時:2021/09/11 03:03

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