C(n,k)を二項係数とします。 Σ[k=0→[n/2]]C(n,2k) を適当な確率に結びつけるこ

C(n,k)を二項係数とします。
Σ[k=0→[n/2]]C(n,2k)
を適当な確率に結びつけることで、二項定理を使わずに和の値を求めることはできるでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/09/18 18:31

p[n] が簡単に求まることに気が付きませんでした。

2^(n-1) がこんなに簡単に求まることも意外でした。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2022/07/01 17:50

No.8 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/09/27 18:25

念のため補足しておくと, #7 の「その和」は

質問文の和
のことだからね.

この回答へのお礼

20年近く連日連夜、質問者のなんの助けにもならないことを書き続けるエネルギーって、一体どこから湧いて出てくるのですか？

お礼日時：2022/07/01 17:52

No.7 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/09/27 00:42

「二項係数」を

(x+y)^n における x^k y^(n-k) の係数
と定義したときに, 「二項定理を使わずに和の値を求めること」ができるのかな?

そしてその和が整数にならないことってあるの?

この回答へのお礼

そのことがそんなに知りたいのなら、自分でスレッド立てて質問したら？

お礼日時：2021/09/28 10:27

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/09/26 00:21

「嫌がらせ」というより「批評」といってほしいねぇ.

「確率に結びつけ」る自然な方法は, #1 でも挙げられているように「n枚のコインで表が偶数枚になる確率」というもの. これを考えてこの式とつなげるには当然だが「公正」かつ「独立」 (でどのコインにも表と裏がある) という条件を付けなければならない. ところが, 組み合わせを考えるなら公正・独立という条件は自動的に満たされる. しかも, 組み合わせを使えば直ちにこの式が得られる. つまり, 全体として「確率」を持ち出すのは余計な記述をさせることにほかならない.

とはいえこれはそれほど罪が重いものではなく, 「二項定理を使わずに」の方が問題. なにをどうしたら「二項定理を使った」と判断するのかという基準がまったく書かれていない以上そこに恣意性が含まれるという疑念は文章からは否定できない. 解釈によっては「確率」 (や組み合わせ) も使えなくなるけど, 理解して書いてるよね?

さらにいえば「二項係数」の定義がないのも危険で, 「二項定理を使わずに」と組合せると「初手から詰み」という状況すら作れる.

そして 2^(n-1) が厳密には正しくないというオチで終わる.

この回答へのお礼

> さらにいえば「二項係数」の定義がないのも危険で, 「二項定理を使わずに」と組合せると「初手から詰み」という状況すら作れる.

具体的に作って見せていただけますか？

> そして 2^(n-1) が厳密には正しくないというオチで終わる.

そのオチに至るまでのストーリーを具体的に教えていただけますか？

何か一つでも具体的なことを回答していただけます？
嫌がらせではないと主張するのは、具体的な内容の書いてある回答を見せてからにして下さい。

曖昧なことばかり言って質問者に執拗に嫌がらをするのは、はっきり言ってあなたくらいの年齢のおっさんのすることではないと思いますよ。

お礼日時：2021/09/26 00:41

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/09/20 00:47

あぁ, むしろ「確率」を使わない方が簡単に計算できるのか....

本質的には同じだとはいえ, 確率を持ち出すと無意味に回り道をするだけだ.

この回答へのお礼

嫌がらせはやめて下さいね。

ボソボソと無意味なことを呟かれても困ります。

お礼日時：2021/09/20 00:53

No.3 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/09/17 05:28

お礼に書かれている通りです。

ｎ-１回の時点で場合分けしました。

この回答へのお礼

それだとわざわざ場合分けしなくても
表が偶数枚出る確率をp[n]として
p[n]=(1/2)p[n-1]+(1/2)(1-p[n-1])=1/2
でよさそうな気がしますが…。

お礼日時：2021/09/18 08:20

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/09/17 01:02

「二項係数」をどう定義するかとか「二項定理を使う」をどう解釈するかによって議論がありそう....

まあ「n枚のコインを投げる」が許されるなら, 全てのコインについて表か裏かが確率 1/2 かつ独立を仮定して
「n枚のコインを投げて偶数枚が表になる」確率はあきらかに 1/2
であることからいけるねぇ. 結論は ceiling(2^(n-1)).

この回答へのお礼

うーん…いつも思うんですけど、もう少しまともな回答は出来ないのですか？

お礼日時：2022/07/01 17:50

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/09/16 21:03

コインをｎ回投げたとき、表が偶数回出る確率と表が奇数回出る確率を考えます。

[1] ｎが奇数のとき
表が偶数回出る確率は Σ[k=0→[n/2]]C(n,2k)/2^n
表が奇数回出る確率は Σ[k=0→[n/2]]C(n,2k+1)/2^n

C(n,k)=C(n,n-k) より、
Σ[k=0→[n/2]]C(n,2k)/2^n=Σ[k=0→[n/2]]C(n,2k+1)/2^n=1/2
これより、
Σ[k=0→[n/2]]C(n,2k)=(1/2)×(2^n)=2^(n-1)

[2] ｎが偶数のとき
Σ[k=0→[(n-1)/2]]C(n-1,2k)/2^(n-1)
=Σ[k=0→[(n-1)/2]]C(n-1,2k+1)/2^(n-1)
=1/2

Σ[k=0→[n/2]]C(n,2k)/2^n
={Σ[k=0→[(n-1)/2]]C(n-1,2k)/2^(n-1)}×(1/2)
+{Σ[k=0→[(n-1)/2]]C(n-1,2k+1)/2^(n-1)}×(1/2)
=1/2
これより、
Σ[k=0→[n/2]]C(n,2k)=(1/2)×(2^n)=2^(n-1)

この回答へのお礼

>Σ[k=0→[n/2]]C(n,2k)/2^n
>={Σ[k=0→[(n-1)/2]]C(n-1,2k)/2^(n-1)}×(1/2)
>+{Σ[k=0→[(n-1)/2]]C(n-1,2k+1)/2^(n-1)}×(1/2)

これは
n回投げて表が偶数回出る確率
=
n-1回の時点で偶数回の確率×n回目に裏が出る確率
+
n-1回の時点で奇数回の確率×n回目に表が出る確率
ということですか？

お礼日時：2021/09/16 22:37