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複素数の数列{a[n]}(n=1,2,3,…)が
n→∞でαに収束するとき、
lim[n→∞](1+a[n]/n)^n=e^α
となることを証明せよ。

これを次のように考えてみたのですが、
あっていますか?

β>|α|とする。十分大きいnについて
|e^a[n]-(1+a[n]/n)^n|
≦|e^a[n]-Σ[k=0,n]a[n]^k/k!|+|Σ[k=0,n]a[n]^k/k!-(1+a[n]/n)^n|
≦|e^β-Σ[k=0,n]β^k/k!|+|Σ[k=0,n]β^k/k!-(1+β/n)^n|
=e^β-(1+β/n)^n
したがって
lim[n→∞](1+a[n]/n)^n
=lim[n→∞]e^a[n]
=e^α

A 回答 (7件)

なるほど


(1+a[n]/n)^nの二項展開のa[n]^k/k!の係数が
Σ[k=0,n]a[n]^k/k!のa[n]^k/k!の係数1以下というのが
|Σ[k=0,n]a[n]^k/k!-(1+a[n]/n)^n|
≦|Σ[k=0,n]β^k/k!-(1+β/n)^n|のおもな根拠になってるんですね。

ぼくがいまごろ言うのもおこがましいがNo.4さんの回答とあわせて
あっています。
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この回答へのお礼

それな

そういうことですね。
この問題がこんなに難しいはずがないと思って考えていたら、そのことに気付きました。
はじめは最大値原理が必要かと思いましたが、よく考えれば係数を吟味すればいいだけだと分かりました。

お礼日時:2021/09/16 19:24

私は


lim[n→∞](1+a[n]/n)^n=e^α
がほとんど明らかだと言っているのです。

だから、
(証明)ほとんど明らか。■
それが許されないなら
(証明)頭の中で余裕なので、わざわざ書くほどのことではない。■
となります。
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この回答へのお礼

うれしい

大変な治療になりそうですね。
療養、頑張って下さいね。
ご病気がよくなるよう応援しています。

お礼日時:2021/09/15 18:36

なるほど、では



>まあ、それくらい頭の中で余裕でしょう。
>わざわざ書くほどのことではない。

「頭の中で余裕なので、わざわざ書くほどのことではない」論法が許されるということなので、

複素数の数列{a[n]}(n=1,2,3,…)が
n→∞でαに収束するとき、
lim[n→∞](1+a[n]/n)^n=e^α
となることを証明せよ。

(証明)頭の中で余裕なので、わざわざ書くほどのことではない。■

というのはいかがですか?
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この回答へのお礼

うーん・・・

私は
|e^a[n]-Σ[k=0,n]a[n]^k/k!|≦|e^β-Σ[k=0,n]β^k/k!|
などがほとんど明らかだと言っているだけで、
lim[n→∞](1+a[n]/n)^n=e^α
が明らかだなんて一言も言ってませんよ?

曲解が酷すぎて、本当にあなたの頭が心配です。
ご病気ではなくただの嫌がらせならいいのですが…。
早めに病院を受診されてみて下さいね。

お礼日時:2021/09/15 17:56

|e^a[n]-Σ[k=0,n]a[n]^k/k!|


=|Σ[k=n+1,∞]a[n]^k/k!|
≦Σ[k=n+1,∞]|a[n]|^k/k!
≦Σ[k=n+1,∞]β^k/k!
=|e^β-Σ[k=0,n]β^k/k!|
という
証明が必要なのです
こういう証明が無いのであっているとはいえません
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この回答へのお礼

どう思う?

まあ、それくらい頭の中で余裕でしょう。
わざわざ書くほどのことではない。

お礼日時:2021/09/15 09:54

>どちらもほとんど明らかでしょう。



ほとんど明らかという論法が許されるなら、

複素数の数列{a[n]}(n=1,2,3,…)が
n→∞でαに収束するとき、
lim[n→∞](1+a[n]/n)^n=e^α
となることを証明せよ。

(証明)ほとんど明らか。■
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この回答へのお礼

・・・。

それは論外でしょうね。
頭大丈夫ですか?

お礼日時:2021/09/15 07:37

|e^a[n]-Σ[k=0,n]a[n]^k/k!|≦|e^β-Σ[k=0,n]β^k/k!|



証明が無いのであっているとはいえません

|Σ[k=0,n]a[n]^k/k!-(1+a[n]/n)^n|≦|Σ[k=0,n]β^k/k!-(1+β/n)^n|

証明が無いのであっているとはいえません
証明とは文字通り明らかにする事なのです
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この回答へのお礼

プンプン

どちらもほとんど明らかでしょう。

お礼日時:2021/09/15 07:24

それが想定解答なのか。


それで、投稿を繰り返して
それとは違う回答に
ケチをつけ続けていたんだな。
偏狭な奴。
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この回答へのお礼

やってみます

違います。
当初トンデモ回答しか付かなかったので、なんとか自分で考えようと努力した結果、この証明に至りました。

どうです?
ご自分が恥ずかしくなりませんか?

お礼日時:2021/09/14 21:54

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