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a,b,cはいずれも整数で、xの3次方程式
x³+ax²+bx+c=0
は解の絶対値がすべて等しいとすると、
x³+ax²+bx+c
は整数係数範囲で因数分解できますか?

A 回答 (3件)

反例


x^3+2=0
整数係数範囲で因数分解できません。

a≠0という制約をつけると話が変わってくる。
実数係数の3次方程式は少なくとも一つの実数解をもつ。
それをαと置くと他の2解は
α*e^(iφ),α*e^(-iφ) (φは実数)となります。
(他の2解は複素共役である必要があるためこのように書ける。
例外として3解がα,α,-αの場合があるが、これはαと-αを入れ替えれば同じように扱える)

解と係数の関係から
-a=α(1+2cosφ)
b=α^2(1+2cosφ)
-c=α^3
となります。

1個目の式で2個目の式を割ると(この操作の関係上a≠0が条件として必要になる)
α=-b/a

これを3個目の式に代入すると
c=b^3/a^3
となる。これからbはaの倍数であることがわかる。
以上のことからα=-b/aは整数である。

x^3+ax^2+bx+c=(x-α)(x^2+βx+α^2)
と因数分解できることが分かった。
ここで
β=-2α*cosφ=a+α
となり、全ての係数が整数であることが示された。
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この回答へのお礼

ありがとう

ありがとうございます。
大変参考になりました。

お礼日時:2021/09/16 19:15

No1です



質問者さんが何をもって「整数係数範囲で因数分解できる」と言われているのか不明で、私が勘違いしているかもしれませんが、

>(x-5)(x²+6x+25)
>になるということなので、因数分解できるということになるのでは?

確かにこの例では、一部は(x-5)で因数分解できますが、
残りの因数(x+3-4i)は 整数係数範囲でないと思うので
 数係数範囲で因数分解できない例
と思い回答しました。
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この回答へのお礼

ムッ

x³+x²-5x-125

(x-5)(x²+6x+25)
に因数分解することは、回答者さまのお考えによると
「整数係数の範囲で因数分解できない」
ということになるのですか?

お礼日時:2021/09/16 11:25

>整数係数範囲で因数分解できますか?


無理と思いますけど・・

私が勘違いしているかもしれませんが、例えば
(x-5)(x+3+4i)(x+3-4i)
はダメな気がします。
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この回答へのお礼

プンプン

それは
x³+x²-5x-125

(x-5)(x²+6x+25)
になるということなので、因数分解できるということになるのでは?

お礼日時:2021/09/16 10:44

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