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整数a,b,cと絶対値が1の複素数zが
z³+az²+bz+c=0
をみたすとき、自然数nが存在して
zⁿ=1
となりますか?

A 回答 (2件)

なります。



与えられた条件を満たす複素数zは
1,-1,i,-i,ω,ω^2,-ω,-ω^2
以外にありません。(ωはx^2+x+1=0の解)
全て6乗すると1になります。

z=±1の場合、自明なので省略

z≠1,-1の場合、zは実数ではありません。
zは実数係数の3次元方程式
Z^3+aZ^2+bZ+c=0
の解ですので、zの複素共役(ここではz'と記すこととする)も同じ方程式の解となります。
この3次方程式には必ず実数解がありますのでそれをαと置くと解と係数の関係から
α*z*z'=α*|z|^2=-c
となります。
問題の条件から|z|=1ですので
α=-c
となります。

Z^3+aZ^2+bZ+c=0
の一つの解がZ=-cであることから上記の式の左辺は
Z^3+aZ^2+bZ+c=(Z+c){Z^2+(a-c)Z+1}
と因数分解できます。
z,z'は2次方程式
Z^2+(a-c)Z+1=0
の解ですので解と係数の関係から
z+z'=c-a
となり、これは整数となります。

z+z'=2*Re(z)
ですが、|z|=1の条件から
-1<Re(z)<1 →-2<2*Re(z)<2
となります。
この条件を満たす整数2*Re(z)は
-1,0,1
の3通りしかありません。それぞれの場合の方程式の解が最初に挙げた8個の値のうち実数でない6個の値となります。
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この回答へのお礼

ありがとう

ありがとうございました。
とても勉強になりました。

お礼日時:2021/09/18 05:06

#1です。


最初のほうで間違っていました。

>1,-1,i,-i,ω,ω^2,-ω,-ω^2
以外にありません。(ωはx^2+x+1=0の解)
全て6乗すると1になります。

6乗ではなく12乗ですね。
厳密には
1:1乗
-1:2乗
i,-i:4乗
ω,ω^2:3乗
-ω,-ω^2:6乗
すれば1になります。12乗すれば全て1になります。
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この回答へのお礼

助かりました

ありがとうございました。

お礼日時:2021/09/18 05:06

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