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和の法則は同時に起こらないときで、
積の法則はともに起こる時ですよね。
積の法則は同時に起こる時ではだめなんですか?
細かくてすみません。

A 回答 (6件)

>和の法則は同時に起こらないときで、


>積の法則はともに起こる時ですよね。

違います。

テキストやネットでも、以下のような解説が多いので、
こう理解されたかと思いますが、解説の表現がよくないです。

「和の法則」
A,Bが同時に起こらないとき、、、、
「積の法則」
A, Bがともに起こるとき、、、、、、


積の法則と和の法則は、目的で使い分けるのが正しいです。

【和の法則】は、
和事象を数えたり確率を求めたりする目的で使います。

和事象とは、複数の事象のどれかが起こる事象のことで、
「いずれか」「少なくとも一つ」「または」「あるいは」
などと表現されています。

ただし、複数の事象がともに起こるかどうか(排反かどうか)で
和の法則の使い方が違ってきます。

事象A,事象Bがともに起こらない(排反である)時は、
ただ和を求めるだけで、P(A∪B)=P(A)+P(B)

事象A,事象Bがともに起こる(排反でない)時は、
ともに起こる確率を引いて、P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

ともに起こるからといって、
和事象の確率を求めなければいけない時は、
積の法則を使うことはできないので、要注意です。


【積の法則】は、
積事象を数えたり確率を求めたりするために使います。

積事象とは、複数の事象が全て起こる事象で、
「いずれも」「全て」「かつ」「及び」「ともに」「同時に」
などと表現されています。

ただし、全ての事象がともに起きることがあっても、
互いの事象が【独立】でなければ、積の法則は使えません。

また、当然ですが、積の法則を使えないからといって、
和の法則を使っていいことにもなりません。


言葉だけだと理解しにくいと思うので、いくつか例をあげますね。

①同時に起こらない場合

事象Aを、サイコロの目が2
事象Bを、サイコロの目が4として、
サイコロを1回振って、事象Aまたは事象Bが起きる確率は?

「または」なので、求めるのは事象Aと事象Bの和事象の確率です。

事象Aと事象Bは排反なので、和の法則に従ってただ足せばいいので、
1/6+1/6=1/3となります。

「排反なので和の法則を使った」ではないので注意しましょう。


②同時に起こらない場合

事象Aを、サイコロの目が2
事象Bを、サイコロの目が4として、
サイコロを1回振って、事象Aと事象Bがともに起きる確率は?

「ともに」なので、求めるのは事象Aと事象Bの積事象の確率です。

ただし、事象Aと事象Bは独立ではないので、
積の法則は当てはめられません。
そのため、積事象A∩Bの確率を求めると、0になります。

決して、同時に起こらないから和の法則と考えてはいけません。


③同時に起きる場合

事象Aを、サイコロの目が2の倍数
事象Bを、サイコロの目が3の倍数として、
サイコロを1回振って、事象Aまたは事象Bが起きる確率は?

「または」なので、求めるのは事象Aと事象Bの和事象の確率です。

事象Aと事象Bは排反ではないので、和の法則に従うと、
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)です。

事象Aは{2.4.6}、事象Bは{3,6}、事象A∩Bは{6}なので
P(A)=3/6、P(B)=2/6、P(A∩B)=1/6、

よって、P(A∪B) = 3/6 + 2/6 - 1/6 = 4/6 = 2/3です。

同時に起きる=排反でない、という場合でも、
和事象の確率なので、和の法則で計算します。


④同時に起きる場合

事象Aを、サイコロの目が2の倍数
事象Bを、サイコロの目が3の倍数として、
サイコロを1回振って、事象Aと事象Bがともに起きる確率は?

「ともに」なので、求めるのは事象Aと事象Bの積事象の確率です。

事象Aと事象Bは独立なので、積の法則が当てはめられます。

P(A)=3/6、P(B)=2/6なので、積事象の確率、P(A∩B)は、
積の法則により、3/6 x 2/6 = 1/6です。


以上、長いですが、文章上の積事象と和事象の見分け方と、
【独立】【排反】かどうかで、法則が使えるかどうかを
しっかりと整理して理解されるといいですよ。
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積の法則は同時に起こる時、という認識で大丈夫です。


和の法則を用いるときは、排反事象の時に用いられます。
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日本語は難解だねえ。


その「同時に」は「ともに」と同じ意味で、
必ずしも同時刻を意味してない。
だから、「積の法則は同時に起こる時」でも
同じ意味で特に問題はない。

そう言えば「起こる時」の「時」も、
「起こる場合」を意味していて
時刻とは関係がないね。

こういうややこしさがあるから、私は普段
「ともに起こるとき」のように書いて
「同時に」や「時」は不用意に使わないようにしてる。
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2つの試行を同じ時刻にやらなきゃいけないなんて


縛りはないのです。
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1つのサイコロを2回振る時に、1回目が2、2回目が4の確率は?というような問題では「同時に」起こることはできません。



サイコロを2個用意すればいい、というのなら、「今日が晴れで明日は雨の確率は?」というような問題では、ともに起こることはできますが「同時に」起こるのは無理でしょう。
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和・積じゃ無くて、or・andで考えたら?


orは同時に起こってもorの範疇。
(1,2) or (2,3) =(1,2,3)

積(and)は同時に起こる時でok
(1,2,3) and (1,3)=(1,3)
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