x、y2次元平面流れにおいて層流だと、ナビア・ストークスの方程式のどの項が消去されるのか教えてください。
(x方向の速度u、y方向の速度vでx方向のみに流れているとき。)

A 回答 (1件)

まだ回答がついていないようなので、大昔にかじった程度ですが。


>y方向の速度vでx方向のみに流れているとき。
当然 v=0=const.
よって(v)を微分した項は0
定常流の場合は、時間微分項は0
こんなもんだったかな?
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Q物理です x^2+y^2<=1 x>=0 y>=0で与えられる重心を 求める問題で重心のx座標を

物理です
x^2+y^2<=1 x>=0 y>=0で与えられる重心を
求める問題で重心のx座標を
1/S∮(0→1)x√1-x^2となっているのですが
なぜこうなるのかがよく分かりません
解説お願いします

Aベストアンサー

重心は、任意の点の周りのモーメントを考えたときに、「微小部分の重量のモーメントの総和=全重量が重心位置にある場合のモーメント」となる点です。

 与えられたのは、半径 1 の 1/4 円の扇型です。その「微小部分」を、x座標を x ~ x+dx の「縦割り」部分にすると、面積は「高さ」が √(1 - x) 、幅が dx ですから
 ΔS = √(1 - x)*dx
です。
 この部分原点回りのモーメントの「腕の長さ」は x ですから、物理的な「力」を考えるために密度を ρ として、モーメントは
  ρ*xΔS = ρ*x√(1 - x)*dx
です。従って、「微小部分の重量のモーメントの総和」は
  ∫[0~1] ρ*x√(1 - x) dx    (1)
です。

 これに対して、「全重量が重心位置にある場合のモーメント」は、重心の x 座標を x0 とすると
  ρ*S*x0     (2)

(1)と(2)が等しくなるので
  ρ*S*x0 = ∫[0~1] ρ*x√(1 - x) dx

 従って
  x0 = (1/S)∫[0~1] x√(1 - x) dx

 S は 1/4 円なので
   S=(1/4)パイr^2 = パイ/4
ですね。

重心は、任意の点の周りのモーメントを考えたときに、「微小部分の重量のモーメントの総和=全重量が重心位置にある場合のモーメント」となる点です。

 与えられたのは、半径 1 の 1/4 円の扇型です。その「微小部分」を、x座標を x ~ x+dx の「縦割り」部分にすると、面積は「高さ」が √(1 - x) 、幅が dx ですから
 ΔS = √(1 - x)*dx
です。
 この部分原点回りのモーメントの「腕の長さ」は x ですから、物理的な「力」を考えるために密度を ρ として、モーメントは
  ρ*xΔS = ρ*x√(1 - x)*dx
です。従っ...続きを読む

Qばねのy軸方向の運動方程式

ばね定数k自然長Loのばね日本がフックの法則に従いばね自身の質料や空気抵抗の影響は無視できるとする。
図のようにMの小物体をばねに取り付け、摩擦のない水平な由佳嬢を動くようにする。ばね1の左端とばね2の右端は壁に固定されており、壁の間隔は2Lとする。(L>Lo)
平衡の位置を原点として、ばねの方向をx軸、直交する水平なy軸をとり、y軸状を運動する場合を考える

時刻t=0に小物体をy=Bから静かに離したときの運動を考えるここでBは正の定数である。

問 時刻t における平衡の位置からy軸方向への変異をu_y(t)としたとき、運動方程式を示せ

Mu_y・・ = -2k(√L^2+u_y^2 -Lo)(u_y/√L^2+u_y^2)

と書いてありましたが
この-2kは当然ですが二個で引っ張っているからでそのあとの(√L^2+u_y^2 -Lo)は
ピタゴラスの定理よりこの斜めになっているばねの伸びをだしているんですよね?

違っていたら教えてください。
そいて最後の
(u_y/√L^2+u_y^2)

はどうしてでてくるんですか?
ここがまったく理解できません。

y軸方向の変位を考えているから(√L^2+u_y^2 -Lo)だけではだめなのはわかるのですがじゃあどうして(u_y/√L^2+u_y^2)

をかければいいかがわかりません。

教えてください。

ばね定数k自然長Loのばね日本がフックの法則に従いばね自身の質料や空気抵抗の影響は無視できるとする。
図のようにMの小物体をばねに取り付け、摩擦のない水平な由佳嬢を動くようにする。ばね1の左端とばね2の右端は壁に固定されており、壁の間隔は2Lとする。(L>Lo)
平衡の位置を原点として、ばねの方向をx軸、直交する水平なy軸をとり、y軸状を運動する場合を考える

時刻t=0に小物体をy=Bから静かに離したときの運動を考えるここでBは正の定数である。

問 時刻t における平衡の位置からy軸方向への変異を...続きを読む

Aベストアンサー

u_y/√[L^2+u_y^2]

はx軸とバネの角度をθとしてsinθ。なので

-k(√[L^2+u_y^2] - Lo)(u_y/√[L^2+u_y^2])

は(バネの力)×sinθで、バネの力のy方向成分。

あと、細かいことですが、ルートの範囲がどこまでかをはっきりさせるように、

√[L^2+u_y^2]

などと括弧をつけたほうがいいですよ。

Qdivで『Ex(x+Δ、y+Δ、z+Δ)-Ex(x+Δ、y、z)』は無視できる?

div(発散)の定義の途中過程についてです。

P(x、y、z)の近くに各座標軸に沿った長さがΔx、Δy、Δzの微小直方体を考える。
その微小直方体のyz平面に平行な面をそれぞれA、Bとする。
(Aのx座標がx、Bのx座標が(x+Δx))
E(Ex、Ey、Ez)とする。
∫(A+B)Exds={(Ex(x+Δx、y、z)-Ex(x、y、z))/Δx}ΔxΔyΔz
『ここでy、z座標の値も面内で変化しているが、それはΔy、Δzについ
高次の寄与しか与えない。』・・・※

この最後の1文についてなのですが、
私は〈微小直方体におけるExのy方向、z方向の変化量『Ex(x+Δx、y+Δy、z+Δz)-Ex(x+Δx、y、z)』は
x方向の変化量『Ex(x+Δx、y、z)-Ex(x、y、z)』に比べると無視できる〉つまり
『Ex(x+Δx、y、z)-Ex(x、y、z)>>Ex(x+Δx、y+Δy、z+Δz)-Ex(x+Δx、y、z)』と解釈しました。

そこで質問なのですが、
自分には『Ex(x+Δx、y、z)-Ex(x、y、z)>>Ex(x+Δx、y+Δy、z+Δz)-Ex(x+Δx、y、z)』はちっとも明らかには思えないのですが、
なぜこれが成り立つのでしょうか?
ここら辺の説明が詳しく載っている参考書がなくて困っています。
(どの参考書でも明らかとしてサラッと流されている。)

どなたかよろしくお願い致します。

以下参考HPです。
http://www.ese.yamanashi.ac.jp/~itoyo/lecture/denkigaku/denki01/denki01.htm#発散

div(発散)の定義の途中過程についてです。

P(x、y、z)の近くに各座標軸に沿った長さがΔx、Δy、Δzの微小直方体を考える。
その微小直方体のyz平面に平行な面をそれぞれA、Bとする。
(Aのx座標がx、Bのx座標が(x+Δx))
E(Ex、Ey、Ez)とする。
∫(A+B)Exds={(Ex(x+Δx、y、z)-Ex(x、y、z))/Δx}ΔxΔyΔz
『ここでy、z座標の値も面内で変化しているが、それはΔy、Δzについ
高次の寄与しか与えない。』・・・※

この最後の1文についてなのですが、
私は〈微小直方体におけるExのy方向、z方向の変化量『Ex(x+...続きを読む

Aベストアンサー

『ここでy、z座標の値も面内で変化しているが、それはΔy、Δzについて高次の寄与しか与えない。』

というのは言葉足らずで、
『ここでy、z座標の値も面内で変化しているが、平面A、B間におけるΔy、Δz、それぞれの変化
については、高次の寄与しか与えない。』ということだと思います。

式で表わせば、
{Ex(x+Δx、y+Δy、z)-Ex(x+Δx、y、z)}
-{Ex(x、y+Δy、z)-Ex(x、y、z)}
={∂Ex(x+Δx、y、z)/∂y}・Δy
-{∂Ex(x、y、z)/∂y}・Δy
={∂^2Ex(x、y、z)/∂x∂y}・ΔxΔy
(zについても同様)
となるからです。

因みに、
Ex(x+Δx、y、z)-Ex(x、y、z)
=∂Ex(x、y、z)/∂x}・Δx
であり、
Ex(x+Δx、y+Δy、z+Δz)-Ex(x+Δx、y、z)
={Ex(x+Δx、y+Δy、z+Δz)-Ex(x+Δx、y+Δy、z)}
+{Ex(x+Δx、y+Δy、z)-Ex(x+Δx、y、z)}
=∂Ex(x+Δx、y+Δy、z)/∂z}・Δz
+∂Ex(x+Δx、y、z)/∂y}・Δy
となるので、
Ex(x+Δx、y、z)-Ex(x、y、z)>>Ex(x+Δx、y+Δy、z+Δz)-Ex(x+Δx、y、z)
は言えそうにありません。

『ここでy、z座標の値も面内で変化しているが、それはΔy、Δzについて高次の寄与しか与えない。』

というのは言葉足らずで、
『ここでy、z座標の値も面内で変化しているが、平面A、B間におけるΔy、Δz、それぞれの変化
については、高次の寄与しか与えない。』ということだと思います。

式で表わせば、
{Ex(x+Δx、y+Δy、z)-Ex(x+Δx、y、z)}
-{Ex(x、y+Δy、z)-Ex(x、y、z)}
={∂Ex(x+Δx、y、z)/∂y}・Δy
-{∂Ex(x、y、z)/∂y}・Δy
={∂^2Ex(x、y、z)/∂x∂y}・ΔxΔy
(zについても同様)
となるからです。
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Qxy平面上において、x軸上の2点x=aおよびx=-aのそれぞれに点電荷

xy平面上において、x軸上の2点x=aおよびx=-aのそれぞれに点電荷qが置かれている。
このときy軸上で電界が最大値をとる位置を求めよ。
解:y=±a/√2

さっぱり分からないので教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。
数日前もお会いしましたか。

x=a にある電荷の名称をA、
x=-a にある電荷の名称をB
と置きます。
そして、
仮に置く電荷をZと名づけ、その座標を(x,y)、電荷の大きさをQとします。

AとZとの間に働く力Fa→の絶対値は、クーロンの法則により
|Fa→| = kqQ ÷ (AとZの距離)^2
ここでAの座標は(a,0)なので、三平方の定理により
(AとZの距離)^2 = (x-a)^2 + (y-0)^2
 = (x-a)^2 + y^2
よって、
|Fa→| = kqQ/{(x-a)^2 + y^2}
しかし、これではFaの大きさはわかっても、方向がわかりません。
ですから、大きさが1のベクトル(単位ベクトル)をかけます。
とりあえず、Fa→ に平行なベクトルは、成分表示で
(x-a,y)
と表すことができます。
単位ベクトルにするには、それ自身の絶対値で割ればよいです。
Fa方向の単位ベクトル = (x-a,y)/√{(x-a)^2 + y^2)}

以上のことから
Fa→ = kqQ/{(x-a)^2 + y^2}・(x-a,y)/√{(x-a)^2 + y^2)}
 = (x-a,y)・kqQ/{(x-a)^2 + y^2}^(3/2)
これのY成分は、
Fa→のY成分 = y・kqQ/{(x-a)^2 + y^2}^(3/2)

Bについても同様に、
Fb→のY成分 = y・kqQ/{(x+a)^2 + y^2}^(3/2)

F→のY成分の合計は、
F→のY成分 = Fa→のY成分 - Fb→のY成分
 = y・kqQ/{(x-a)^2 + y^2}^(3/2) + y・kqQ/{(x+a)^2 + y^2}^(3/2)
電界はFをQで割ったものなので、
E→ = y・kq/{(x-a)^2 + y^2}^(3/2) + y・kq/{(x+a)^2 + y^2}^(3/2)


Y軸上なので、x=0
E→のY成分 = y・kq/{(0-a)^2 + y^2}^(3/2) + y・kq/{(ー+a)^2 + y^2}^(3/2)
 = y・kq/{a^2 + y^2}^(3/2) + y・kq/{a^2 + y^2}^(3/2)
 = 2kqy/{a^2 + y^2}^(3/2)

このままだと後が面倒なので、2乗します。
(E→のY成分)^2/(2kq)^2 = y^2/{a^2 + y^2}^3
これが極値であるには、これをyで微分したものがゼロ。

d/dy・{y^2・{a^2 + y^2}^(-3)}
 = 2y・{a^2+y^2}^(-3) + y^2・2y・(-3)・(a^2+y^2)^(-4)
 = [2y・(a^2+y^2) - 6y^3](a^2+y^2)^(-4)
 = 2y[(a^2+y^2) - 3y^2](a^2+y^2)^(-4)
 = 2y(a^2 - 2y^2)(a^2+y^2)^(-4)
 = 2y(a^2 - 2y^2)/(a^2+y^2)^4

よって、E→のY成分が極値を取るとき
y=0   または、  a^2 - 2y^2 = 0
このうち、y=0 は、|E→|の大きさが0になる場所(極小)なので、NG。
残るのは、a^2 - 2y^2 = 0 です。
y^2 = a^2/2
y = ±a/√2

こんにちは。
数日前もお会いしましたか。

x=a にある電荷の名称をA、
x=-a にある電荷の名称をB
と置きます。
そして、
仮に置く電荷をZと名づけ、その座標を(x,y)、電荷の大きさをQとします。

AとZとの間に働く力Fa→の絶対値は、クーロンの法則により
|Fa→| = kqQ ÷ (AとZの距離)^2
ここでAの座標は(a,0)なので、三平方の定理により
(AとZの距離)^2 = (x-a)^2 + (y-0)^2
 = (x-a)^2 + y^2
よって、
|Fa→| = kqQ/{(x...続きを読む

Q(x,y)平面内の質点に力F(xy,xy^2/2)でかけられているとき質点が(0,r)から(r,0)

(x,y)平面内の質点に力F(xy,xy^2/2)でかけられているとき質点が(0,r)から(r,0)まで半径rの演習を動く時に力のなした仕事を求めよ。
これが分かりません…

Aベストアンサー

たぶん
(x,y)=(r・cosθ,r・sinθ)
と置いてF・dlをθについて π/4から0まで積分すればいいんじゃないのかな。
ちなみに
dl = (r・sinθ,-r・cosθ)dθ
ベクトルの内積はわかるよね?
だったら計算はできるかと。


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