【iOS版アプリ】不具合のお知らせ

nを2種類以上の素因数をもつ自然数とする。
ζを1の原始n乗根とする。
1-ζのノルムはどうやって求めるのでしょうか?

A 回答 (9件)

「具体的に」といっても, そんなに書くことないんだけどなぁ. せいぜい「非負整数を掛けて 1 だったらもとは 1」というくらいで.



あ, ひょっとして「ほとんど明らか」という返しを希望していた?

「結局また嫌がらせなんですか?」についていえば, こっちにそんな意図はない. もちろんそっちが妄想してはいけないなどという気もないが. あと「全部自分で考えるつもりなのになんで書くんだよ考えなくていいようにするだなんてどんな嫌がらせなんだ」と思ったのであればそれは結果論だしそんなことを思うならそもそも質問しないかこんな大雑把な質問ではなくもっと精密に質問するべきだろう.
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この回答へのお礼

ムッ

いやあ、どうでしょうw
これは確実に嫌がらせだと思いますよw

求め方を聞いているのに、具体的なことは一切書かない。もう1人の回答者に向けて自分の方が数学が出来るとアピールするだけ。
自分はこんなに簡単に解けましたよ、と。非負整数を掛けて 1 だったらもとは 1だよ〜〜? と。
このようなことは50近いおじさんのすることではないと思いますよ。

もしも嫌がらせではないのなら、質問に答えてくださいね。

>円分多項式の性質をフル活用する方向だと Φn(1) は (n≧2 で) 非負整数になるから簡単.

円分多項式のどのような性質をどのように使えば、1-ζのノルムを簡単に求められるのですか?
まずいくつかのステップでもいいので、具体的なことを教えていただけないですか?

お礼日時:2021/09/23 03:46

Φn(1) を「n の式」で表すことはできないけど


n が素数 p のべきなら Φn(1) = p
は証明できてそこから
Π(d|n, d は 2つ以上の素因数を持つ) Φd(1) = 1
になる.で d の持つ素因数の数と「指数の和」に対して帰納法をまわせばいけるよ>#7.

ちなみに円分多項式の性質をフル活用する方向だと Φn(1) は (n≧2 で) 非負整数になるから簡単.
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この回答へのお礼

ムッ

>ちなみに円分多項式の性質をフル活用する方向だと Φn(1) は (n≧2 で) 非負整数になるから簡単.

いやだから……
具体的なことを書きましょうよ(苦笑)

結局また嫌がらせなんですか?

お礼日時:2021/09/21 02:50

あ、誰か来てる。



N(1-ζ) = Π[αは1-ζの共役] α
    = Π[βはζの共役] (1-β).
一方、ζの最小多項式は
φ(x) = Π[βはζの共役] (x-β)
と書けるので、
N(1-ζ) = φ(1).

1 の原始 n 乗根の最小多項式を
n 次の円分多項式といって、Φn(x) と書く。
N(1-ζ) = Φn(1).

円分多項式について、
x^n - 1 = Π[dはnの正の約数] Φd(x) の関係がある。
両辺を x - 1 で割ると、
Σ[k=0...n-1] x^k = Π[dはnの2以上の約数] Φd(x).
これに x = 1 を代入して、
n = Π[dはnの2以上の約数] Φd(1). ←[1]

Φd(1) を d が小さいほうから順に求めていけば、
漸化式[1] によって、具体的な n の対する Φn(1)
従って N(1-ζ) が求まる。

しかし、Φn(1) を n の数式で書き下すのは
困難で、おそらく不可能なんじゃないかと思う。
質問文が 1-ζ のノルムの値は何か? でなく
ノルムはどうやって求める? と尋ねているのは、
それを踏まえてアルゴリズムで答えろという
ヒントなのではないだろう、たぶん。

だから、私の答えは [1]。
No.6 くらいはっきり書かれても理解できなかった者でも、
このくらい具体的に書けば解るのではないだろうか。
いや、ダメかな? 今回も。
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この回答へのお礼

ムッ

ねえ、大丈夫?本当に。

No.6に「結果は 1.」とはっきり書かれてあるのに理解できなかったの?
「結果は 1.」とこれ以上ないほど具体的に書いてあるのに解らなかったの?

困難?不可能?アルゴリズム?

……いい加減にして。

お礼日時:2021/09/21 03:47

「私は最初からこの意味でのノルムについて質問しています」? むしろその方が「自己正当化が無理矢理過ぎ」だろうに. そうでないというなら, 「この質問文」からどうしてそのように読み取れるのか (そしてどうしてそれ以外に読み取れないとするのか), 明確に書いてほしいものだ.... まあどうせしないだろうけど.



ちなみに「その意味」で解釈するなら「2種類以上」という条件を最初から付けるのはけち臭いので「正の整数」としてからおもむろに「2種類以上のとき」を取り出した方が簡単. で円分多項式
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86 …
の x=1 における値を計算すればよく, 努力と根性で帰納法を回して (あるいは円分多項式の性質をフル活用して) 結果は 1.
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この回答へのお礼

ムッ

複素数の絶対値のことが知りたいならわざわざノルムとは言わんだろう。
まあ、そこはもういいです。

>努力と根性で帰納法を回して (あるいは円分多項式の性質をフル活用して) 結果は 1.

これをさらに詳しくお願い出来ますか?
嫌がらせではないんですよね?
帰納法について努力と根性以外のもう少しまともな情報をお願いします。

お礼日時:2021/09/20 19:01

追々続きは書くよ。

おやすみ。
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この回答へのお礼

ムッ

Tacosanがありものがたりさんよりも自分の方が数学が出来ることを必死でアピールしてくるんですけど、
ありものがたりさんはこのまま引き下がってもいいのですか?

ありものがたりさんには回答者としてのプライドみたいなものはないのですか?

お礼日時:2021/09/22 19:46

> ζのノルムのことなど誰も聞いてない。


> 1-ζのノルムについて質問している。

ははは... そりゃそうだ。

N(ζ) = Π{ 1 - e^(2πik/n) }
   = Σ{ e^(2πiΣ[何個かのkについて]k/n) ・ (-1)^(Σするk個数) }

ガウス和と関係ありそうだが、
おねむだから、今夜はここまで。
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この回答へのお礼

ムッ

おいおい

お礼日時:2021/09/20 01:29

> 私は最初からこの意味でのノルムについて質問しています。


> 絶対値のことが知りたければ最初から絶対値と書きます。

そんなことは、質問文に書かなければ、誰も知らない。
まあ、今回の出題不備は、特別に見逃してあげてもいいでしょう。
で、代数的数のノルムについては...

No.1 で既に、
1 の原始 n 乗根が、 ζ = e^(2πik/n) {kはnと素な整数} であることは書いている。
重複がないようにするためには 0 ≦ k < n の範囲に限定すればいい。
そのような ζ の「ノルム」は、 N(ζ) = Π e^(2πik/n) = e^(2πi Σk/n).
つまり、 0 以上 1 未満の範囲にある分母 n の既約分数の和 Σk/n が判れば
N(ζ) が判る。

だが、 n の条件が「2種類以上の素因数をもつ自然数」では、
前述した m の素因数について情報がないこと から
Σk/n は計算しようがない。 上記の式が FA になってしまう。
n がせめて「2種類の素因数をもつ自然数」なら、
どうにかしようもあるが。
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この回答へのお礼

ムッ

ハア?
大丈夫か?

ζのノルムのことなど誰も聞いてない。
1-ζのノルムについて質問している。

お礼日時:2021/09/20 01:16

こんな酷い質問は、とてもじゃないが許されることではないね。


No.1 は、複素数のノルムについて正しく答えている。
回答が付いてから題意を変えるのは、いい加減にしなさい。
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この回答へのお礼

ムッ

これは酷過ぎます。
自己正当化が無理矢理過ぎてこちらが恥ずかしくなります。

私は最初からこの意味でのノルムについて質問しています。
あなたがご存知なかっただけでしょう?

絶対値のことが知りたければ最初から絶対値と書きます。

まあ、No.1の勘違いは今回は特別に見逃してあげてもいいでしょう。
で、本題のノルムについてはいかがですか?

お礼日時:2021/09/20 00:52

ζ が 1 の n 乗根ならば、 ζ = e^(2πik/n) {kは整数} です。


原始 n 乗根であることは、 k と n が互いに素であることに対応します。
これを使って、
|1 - ζ| = |1 - e^(2πik/n)|
    = |1 - cos(2πk/n) - i sin(2πk/n)|
    = √{ (1 - cos(2πk/n))² + (sin(2πk/n))² }
    = √{ 1 - 2cos(2πk/n) + (cos(2πk/n))² + (sin(2πk/n))² }
    = √{ 1 - 2cos(2πk/n) + 1 }
    = √{ 1 - 2{ 1 - 2(sin(πk/n))² } + 1 }
    = √{ 4(sin(πk/n))² }
    = 2|sin(πk/n)|.
1 の原子 n 乗根は複数あり得るため、それに応じて
|1 - ζ| の値も複数あります。

「k と n が互いに素である」を、
n が 2 種類以上の素因数をもつ ことを使って書き換え
られそうな気はしませんね。
n = pqm (p,q は異なる素数、mは自然数) と書いてみても、
m がどんな素因数を持つかについて情報が無いため
条件を書き換える手段が無いからです。
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この回答へのお礼

ムッ

ちょっと待って下さいよ、こんな酷い回答はとてもじゃないですが許されることではないですよ!
いい加減にして下さい!!

ここでのノルムとは以下のページにあるノルムのことです。
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/代数的数

少なくとも定義くらいは、ね?
自分で調べましょ?
質問者に教えてもらうなんて恥ずかしいことだと自覚しないと。

お礼日時:2021/09/19 23:45

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