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このグラフよりなぜ極大と極小は1と-1だけにならないのですか?

「このグラフよりなぜ極大と極小は1と-1だ」の質問画像

A 回答 (8件)

誤字訂正:



何か非常に小さい正数 ε をとって、
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「極大」「極小」の用語の定義を、教科書で確認しましょう。


f(x) が x = a で極大(極小)値となるとは、
b < a < c となる実数 b, c で
f(x) の定義域を b < x < c に制限したとき
f(a) が最大(最小)値になるようなもの
が存在することを言います。 これが定義です。
要するに、局所最大(局所最小)ということなんですが、
「局大」「局小」と書かないのは何故なんでしょうねえ?

この定義から、 f(x) が b < x < c の範囲で
微分可能な場合には、 b < x < a と a < x < c で
f’(x) の正負が異なることが f(a) が極値であることの条件
という扱い易い特徴付けが派生します
が、これは定義ではありません。
x = a で極値となること自体は、 f(x) が x = a で
微分可能でなくても、それどころか連続でさえなくても
定義されるからです。 例えば、
x ≧ 0 のとき g(x) = x - 1,
x < 0 のとき g(x) = -x という関数 g(x) は、
x = 0 で極小値 -1 をとります。
これが上記の定義を満たしていることは、確認しておいてください。

さて、この定義に照らして、 質問の関数 f(x) が
x = π/4 で極小値、 x = (5/4)π で極大値をとることは
確認できますね?
何か非常に小さい整数 ε をとって、
f(x) の定義域を π/4 - ε < x < π/4 + ε と
(5/4)π - ε < x < (5/4) + ε にそれぞれ制限してみればいい。
グラフから、それぞれ極小と極大であることが判ります。
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それこそグラフを見たら「極大と極小が1と-1だけでない」と言う事がひと目で分かります。

恐らく「極大、極小」と言うのを「最大、最小」と誤解していると思います。
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画像のグラフの通り、


極小に 1/√2, 極大に -1/√2 がありますよね。

ひょっとして、最大・最小 と 極大・極小 を
混同しているの?
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赤字で「極大」「極小」って書いてあるだろ。


それが「極大」「極小」の定義だ。角の部分を言うんだ。

先ずは教科書を見ろ!
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おそらく、極大、極小と最大、最小の定義がごっちゃになってると思います。


極大の定義は、f' の符号が+から-に変わる点であり、極小の定義は、f' の符号が-から+に変わる点です。
よって、極大と極小は写真の通りになります。
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グラフから「一目瞭然」だからです。



この範囲内だけでも
「極大」は 1, -1/√2
「極小」は 1/√2, -1
と読み取れます。

その中から「最大」と「最小」を探すのであれば
「最大」は 1
「最小」は -1
となります。
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極大は4か所あって極小は3か所あるから。

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