運動方程式 Ｆ=ｍa について

基本的な物理学の本を読んでいると必ず出てくる、ニュートンの　Ｆ=ma　という式ですっきりと理解できないことがあります。
Ｆ=ma　という式の加速度aは、平均の加速度を表しているのでしょうか。それとも瞬間の加速度を表しているのでしょうか。

また、このＦ=ma という式は、
物体に力が及んだ瞬間（非常に短い時間）に適用する式なのでしょうか。
物体に力が一定の時間（例えば５秒とか１０秒）及んだとき、力が及んでいる最中（加速度が大きくなっている間）にもこの式が適用されるのでしょうか。

Ｆ=ma　という式に、時間変数ｔが入っていないため、
この式にある力Ｆ・加速度aと、時間ｔとの関係が良く分かりません。

ピントはずれの質問かもしれませんが、どなたか教えていただけると幸いです。

No.7 ベストアンサー 回答者： michina 回答日時： 2005/03/08 22:06

ANo.4 です。

時間tに拘っている方も多いようですので、もう少し説明しておきますね。
正確な運動方程式は、力Ｆも加速度aも、ベクトルで、この運動方程式は、物体が等加速度直線運動をしていることを示しているものです。等加速度直線運動では、時間に関係なく、常にこの式が成り立つのです。つまり、「加速度aが常に一定の時」の方程式なのです。しいて現実世界において考えるならば、ある一定時間の平均の加速度と考えても良いです。しかし、平均の加速度ですので、その一定時間は短くても長くてもどちらでも良いのです。

No.8 回答者： First_Noel 回答日時： 2005/03/08 22:20

＃５です．ふと思いましたが，Ｆ＝ｍａ，と書いても，前後の脈略や人それぞれ，

・ニュートン力学を象徴的に記述している場合
・時不変であることを記述している場合

があることから，質問者さまが混乱しているのでは？と思いました．

これにいちいち惑わされないようにきちんと理解するなら，
やはり微分形で理解すべきと思います．

Ｆ＝ｍ（ｄ＾２ｘ／ｄｔ＾２）

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力と，位置の時間変化の時間変化に質量をかけたものは，等しい．
＃６さまおっしゃることについて，興味深いことを思い出しました．
等式なので，どちらからどちらへ解釈しても良いです，
なぜなら，力Ｆを発生させる機械もあれば，地震のように加速度が発生する現象もありますし，
また，必要なのがＦなのかａなのか，もそれぞれです，
むしろ，「Ｆを作用させてａとなるような物理量ｍが存在する」と言うのが
根源かも知れません，素粒子論で「なぜ質量が存在するか」について，
「ヒッグス粒子」なるものが介在していると言う仮説があります．
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No.6 回答者： depachika 回答日時： 2005/03/08 22:05

自分は高３のものですが、やはり受験勉強をしてて同じ疑問を持ちました。

F＝Mａというのは、質量Mの物体がａという加速度を生じるにはＦの力が必要と左辺、右辺の関係から考えがちですが、それは合ってるという人もいますが、多くが間違えと指摘します。正しくは質量Ｍの物体にFの力が働くとａの加速度が生じると考えるようです。この式の場合はａは瞬間の加速度です。というのは両辺に時間ｔをかけると力積になるので時間ｔをかけない式Mａ＝Fの加速度ａは瞬間の加速度とするのが妥当だと思います。メールなのでうまい回答ができなくてすいません。　　　　　

No.5 回答者： First_Noel 回答日時： 2005/03/08 21:53

Ｆ＝ｍａの

ａが瞬間の値ならＦはその瞬間の値，
ａが平均値ならＦも平均値です．

バネ（単振動）を考えてみます．
任意のある瞬間（時刻ｔ）には，Ｆ（ｔ）＝ｍａ（ｔ），が成立します．

一方，単振動のｎ周期分の平均加速度は０，従って平均の力も０，
だから単振動では質点はいつまでも「釣合点近傍」に留まっています．

因みに，Ｆ＝ｍａ，ａは定数，を０～Ｔで積分すると，
Ｆ×Ｔ＝ｍａ×Ｔ＝ｍｖ
となり，力積と運動量との関係式が求まります．
別にａはｔの変数でもかまいません．

No.4 回答者： michina 回答日時： 2005/03/08 21:22

これは、加速度の定義をちゃんと理解してないために起こった疑問ですね。

数字を代入すると分かり易いので、数字を代入して説明します。
例えば、加速度８メートル毎秒毎秒というのは、一秒間に８メートル毎秒だけの速度が大きくなっていることを意味しています。加速度aということは、毎秒aだけの速度が増加することを示しているのです。記号で書くと単位が見えないので、加速度aと速度aの区別がつきにくいのですね。
ですから、
Ｆ=ma　の式は、質量　m　の物質を毎秒　aメートル毎秒だけ　加速するのに必要な力が　Ｆ　だということを示しているのです。
加速度と、速度の単位に注意して見てくださいね。

No.3 回答者： bandgap 回答日時： 2005/03/08 21:11

1 番目の回答者の方に補足を．

　ある時刻（瞬間）を t とすると　F(t) = m a(t)　が成り立ちます．というより，この式が成り立つのは瞬間のみ，時刻のみ，となります．

　1 秒間であれ，0.1 秒間であれ，あなたにとっては瞬間に感じるような時間であっても，物理にとっては長い長い時間であり，従って　F (0.1 sec) = m a (0.1 sec)　という式は間違いです．

　では，時間についてはどう考えるのかというと，時間は瞬間の積み重ね，つまり積分です．0.1 秒間を例にすると

　　　(t から t + 0.1 sec まで積分) F (t) dt
　　　＝　(t から t + 0.1 sec まで積分) m a (t) dt

が正しい考え方となります．

　加速度 a (t) が，時刻 t から t + 0.1sec の間中一定値を取るのであれば，いわゆる平均という考え方を使えます．しかし a (t) がダイナミックに変化するのであれば，積分する必要があります．

No.2 回答者： rey-aw 回答日時： 2005/03/08 21:07

平均の加速度で正確な値は出ません。

自分で２山３山のグラフを作成し、
微分積分でグラフの面積からトータルエネルギーを求めて、
計算が合うかどうかの検算が必要ですね。

ｔ１とｔ２の間は曲線Rですので、いい加減な１秒平均で計算できる訳がない。
めちゃくちゃなどんぶり計算で合うはずが無いですね。

計算をあわすには、点に近い時間間隔で連続計算するしかありません。

どのぐらいズレがでるのか、原因は何か、
正確な数値はどれか、

自分で計算しましょう。

No.1 回答者： ElectricGamo 回答日時： 2005/03/08 20:50

力と加速度が次のように時刻tの関数で与えられると考えたら分かりやすいでしょう。

　　F(t)=m a(t)

これから、ある時刻tに作用する力がF(t)　←→　ある時刻tにおける加速度がa(t)。

つまりその瞬間の加速度を表しているわけなので、非常に短い時間にでも、あるいは力が一定時間及んでいても適用されます。