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Rが矩形である:⇔あるn∈Nを用いて、R=[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n]と書ける。 AとBがほとんど互いに交わらない:⇔Aの内部∩Bの内部=空集合。 この本ではこの補題の証明が感覚的に書かれていました。厳密に証明するとどうなりますか?

以前に質問しましたが、質問が何故か消されてしまいました。

「Rが矩形である:⇔あるn∈Nを用いて、R」の質問画像

A 回答 (2件)

(A∩B)の測度μ(A∩B)=0の時


AとBがほとんど互いに交わらない
という

(B-A)∩(A∩B)=φ
B=(B-A)∪(A∩B)
だから測度μに対して
μ(B)=μ((B-A)∪(A∩B))=μ(B-A)+μ(A∩B)
だから
μ(B-A)=μ(B)-μ(A∩B)

A∩(B-A)=φ
A∪B=A∪(B-A)
だから測度μに対して
μ(A∪B)=μ(A∪(B-A))=μ(A)+μ(B-A)
↓μ(B-A)=μ(B)-μ(A∩B)だから

μ(A∪B)=μ(A)+μ(B)-μ(A∩B)

↓AとBがほとんど互いに交わらないとすればμ(A∩B)=0だから

μ(A∪B)=μ(A)+μ(B)

μ(A∪B)=|A∪B|
μ(A)=|A|
μ(B)=|B|
だから

|A∪B|=|A|+|B|
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2021/09/20 21:02

以前に回答しましたが、質問が何故か消されてしまいましたね。


利用規約に反するような宿題の質問とは思えないので、
質問者自身が削除依頼したのではないですか?
簡単だけど書くのは少し面倒だから、再度答えるのはもう嫌です。
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この回答へのお礼

私は削除依頼をしていません。

お礼日時:2021/09/21 11:40

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