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x > 0, y > 0, x + y < πのとき

  sin(x/2)sin(y/2)cos(x+y/2)

の最大値を求める高校数学の問題をラグランジュの未定数乗法で解くとどうなりますか?

質問者からの補足コメント

  • すみません。
     cos((x+y)/2)
    です。よろしくお願いいたします。

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2021/09/20 10:00

A 回答 (5件)

この問題の場合、ラグランジュの未定数乗法は関数 F(x,y) の境界


G(x,y)=0 上の極値を求める方法です。

したがって、今回は x+y-π=0, x=0 , y=0 で囲まれた領域の内部
ですから、領域に境界はなく、内部なので不通に2変数の極値で求
められます。さらに、領域の内部の微分可能な関数の極値は最大最
小でもある。

つまり、今回は2変数関数の極値を求める問題となる。すると
 F(x,y)=sin(x/2)sin(y/2)cos((x+y)/2)
 x>0, y>0 , x+y<π・・・・①

として、
 Fx=(1/2)cos(x+(y/2))sin(y/2)=0
   → x+(y/2)=π/2+nπ または y/2=mπ
かつ
 Fy=(1/2)cos(y+(x/2))sin(x/2)=0
    → x/2=n'π または y+(x/2)=π/2+m'π

このうち、①の範囲にあるものは m,n' は存在せず、n=m'=0 の
みだから
 x+(y/2)=π/2 , (x/2)+y=π/2 → x=y=π/3・・・・②
となる。

この求めた極値の判別式は
 Fxx=-(1/2)sin(x+(y/2))sin(y/2)=-1/4<0
 Fyy=-(1/2)sin(y+(x/2))sin(x/2)=-1/4
 Fxy=(1/2){-(1/2)sin(x+(y/2))sin(y/2)+(1/2)cos(x+(y/2))cos(y/2)}
   =(1/4)cos(x+(y/2)+(y/2))=(1/4)cos(x+y)=-1/8
 Δ=FxxFyy-Fxy²=1/16-(-1/8)²>0

したがって、②は極大、①において最大となる。
 F(π/3,π/3)=(√3/2)²(1/2)=3/8
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この回答へのお礼

丁寧な回答まことにありがとうございました。他の回答者にも合わせてお礼申し上げます。

お礼日時:2021/09/20 14:53

一応解説しておくと


ラグランジュの未定乗数法は
関数の独立変数を拘束条件で縛って自由度を減らした時の
停留点を求めるのに使う。
この時、自由度を逆に増やしつつ、拘束条件付関数を
拘束条件無しの関数に変換する所が
ラグランジュの未定乗数法の旨味。

不等式の範囲は拘束条件ではないので
ラグランジュの未定乗数法は使えません。
範囲の境界上に停留点がありそうなら話は別だけど
この質問では範囲が境界を含んでないので
最大、最小に境界は係われません。

従って普通に gradf=0 の点を求めて評価するだけ。
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訂正


 F(π/3,π/3)=(1/2)²(1/2)=1/8
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範囲内の停留点は変わらないし


境界上では式は0だから
ラグランジュの未定乗数法の使いどころが無いと思う。
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cos(x+(y/2)) cos((x+y)/2) のどちらですか?

この回答への補足あり
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