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「無理数の無理数乗が有理数になることがある」という命題を証明する問題があります。ご存知の方も多いと思いますが、一応説明すると、
「√2^√2が有理数ならば答えは「ある」。無理数ならば、(√2^√2)^√2=√2^2=2となり、どちらでも「ある」となる」
しかし、これは√2^√2が実数であることを仮定しているという指摘があり、確かに自明としてよいかは吟味する必要がありそうです。そこで、ちょっと範囲を広げ、実数の実数乗がどうなるかを考えてみました。
①{X:X>0の実数、Y:実数}のとき、X^Yは実数
 logx(X^Y)=YlogxX=Y となり、これは実数。もし、X^Yが虚数や複素数ならばこうはならない。
②・{X:X=0、Y:Y>0の実数}のとき、0^Y=0となる。
 Y・10^m=ABC….abc…となる自然数ⅿをとってくる(ABC…、abc…は0~9の整数。
ただし、A+B+C+…≠0)。そして0の自然数乗は0とする。
 (0^Y)^(10^m)=0^(Y・10^m)=0^(ABC….abc…)=0^ABC…・0^abc…
=0・0^abc…=0
 ・{X:X=0、Y=0}のとき、定義不可。(ここでは0の0乗は定義できないとする)
 ・{X:X=0、Y<0の実数}のとき、0で割ることになり、定義不可。
③{X:X<0の実数,Y:実数}のとき、特定のX,Y を除いて、一般に定義不可。
 例:(ー1)^(1/4)は4乗してー1となる数だが、実数、虚数でもなく、四元数でもない。
 ∴一般的に負の実数を実数乗した数は定義不可となる(恐らく)。
 
どうでしょうか?数学としての厳密性にはだいぶ欠けた説明ですが、①、②は、それなりに示せたのではないかと思います。しかし、③は、かなり怪しい、感に依ったものになってしまいました。もっと、厳密かつ正確な説明があるならば、ご一報いただければ幸いです。
(冪乗という演算は窮屈なものだなあ、というのが怖いもの知らずの素人の感想です)

質問者からの補足コメント

  • ①について。(0^Y)^10^m=0となり、a^n=0(n:自然数)となるとき、a=0とできるということを言っています。

      補足日時:2021/09/20 13:36
  • 再度の補足。前の補足で①としていたのは②の誤りでした。

      補足日時:2021/09/20 13:39
  • ー1=e^πiとして計算するやり方も考えてみましたが、こうすると、以下の問題点があるように思われます。
    X>0の実数、Y:実数のとき、X^Y=(1・X)^Y=((e^2πi)・X)^Y=(e^2πYi)・(X^Y)
    となり、一般には実数とならず、Xが正のときに実数となると結論付けたことと矛盾する。
    Xがマイナスのときは、e^πiであって2πi乗ではないからこうしてもよいのだとするのも、整合性が取れないと思え、ここでは採用しませんでした。

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2021/09/22 11:09
  • (ー1)^1/4は複素数とできるようです。(まあ、純実数でも純虚数でもないとはこじつけられるかも)

      補足日時:2021/09/22 11:54
  • 前の補足ですが、やはり、そう言い切っていいかどうか…。度々ですが、どうも、混乱しているようです。

      補足日時:2021/09/22 12:21
  • ざっと調べた限りの単なる感想なのですが、べき乗におけるarg ZのZの範囲については、どうも、統一された見解はないようですね。あたかも0^0をどう定義するかの如く…。

    No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2021/09/23 10:36

A 回答 (6件)

主値


https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%BB%E5%80%A4
に書いてある通り
複素数の偏角の主値は
[0,2π)
(-π,π]
のどちらかで定義されるのです
だから
偏角の主値が2πになる事はありません
偏角の主値に対して指数を定義するのです

X=|X|e^(i{arg(X)})
|X|>0
-π<arg(X)≦π

X^Y=(|X|^Y)e^(i{arg(X)}Y)

定義するのです
だから
arg(X)≠2πです
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    • 0

X=|X|e^(i{arg(X)})


|X|>0
-π<arg(X)≦π

X^Y=(|X|^Y)e^(i{arg(X)}Y)

定義するのです
だから
arg(X)≠2πです
この回答への補足あり
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    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2021/09/23 10:21

X=re^(it)


r>0
0<t<2π
の時

X^Y=(r^Y)e^(itY)

定義するのです
だから
t≠2πです
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    • 0

> (-1)^1/4は複素数とできるようです。



No.2 は、 √2 > 0 であることを利用しています。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2021/09/23 10:18

何がしたい質問なのか、いまいち解らんのだけれど、


> これは√2^√2が実数であることを仮定しているという指摘があり、
> 確かに自明としてよいかは吟味する必要がありそうです。
が論点なのかな? だとすると、①②③はずいぶん迂遠な気がする。

a^x を実数 x に対して定義したとき、x へ収束する有理数列 q_i によって
a^x = lim[i→∞] a^q_i で定義する... としたはず。
この定義が welldefined であることの証明は高校の教科書に譲るとして、
a^x (ただしxは有理数) の単調性と q_i の収束性から
a^q_i はコーシー列であることが言えるので、実数内に極限を持つ。
よって、x が実数の範囲でも a^x は実数値をとり、連続である。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2021/09/22 10:27

log√2^√2=√2log(2^{1/2})=(√2/2)log2


だから
√2^√2=e^{(√2/2)log2}

実数になる


X>0の実数,Y;実数の時
logX^Y=YlogX
だから
X^Y=e^(YlogX)

実数になる


X<0の実数,Y:実数の時
-1=e^(πi)
だから
X=|X|e^(πi)
だから

X^Y
=(|X|^Y)e^(Yπi)
=(|X|^Y){cos(Yπ)+isin(Yπ)}

と複素数になる
この回答への補足あり
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2021/09/22 10:28

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