『実数はどこまで』

「無理数の無理数乗が有理数になることがある」という命題を証明する問題があります。ご存知の方も多いと思いますが、一応説明すると、
「√２^√２が有理数ならば答えは「ある」。無理数ならば、(√２^√２)^√２＝√２^２＝２となり、どちらでも「ある」となる」
しかし、これは√２^√２が実数であることを仮定しているという指摘があり、確かに自明としてよいかは吟味する必要がありそうです。そこで、ちょっと範囲を広げ、実数の実数乗がどうなるかを考えてみました。
①{X:X＞０の実数、Y:実数}のとき、X^Yは実数
　logx(X^Y)＝YlogxX＝Y　となり、これは実数。もし、X^Yが虚数や複素数ならばこうはならない。
②・{X:X＝０、Ｙ:Ｙ＞０の実数}のとき、０^Y=０となる。
　Y・10^m＝ABC….abc…となる自然数ⅿをとってくる（ABC…、abc…は０～９の整数。
ただし、A＋B＋C＋…≠０）。そして０の自然数乗は０とする。
　(０^Y)^(10^ｍ)＝０^(Y・10^ｍ)＝０^(ABC….abc…)＝0^ABC…・０^abc…
＝０・０^abc…＝０
　・{X:X＝０、Y＝０}のとき、定義不可。（ここでは０の０乗は定義できないとする）
　・{X:X＝０、Y＜０の実数}のとき、０で割ることになり、定義不可。
③{Ｘ:X＜０の実数，Y：実数}のとき、特定のX,Y を除いて、一般に定義不可。
　例：(ー１)^（１/４）は４乗してー１となる数だが、実数、虚数でもなく、四元数でもない。
　∴一般的に負の実数を実数乗した数は定義不可となる（恐らく）。
　
どうでしょうか？数学としての厳密性にはだいぶ欠けた説明ですが、①、②は、それなりに示せたのではないかと思います。しかし、③は、かなり怪しい、感に依ったものになってしまいました。もっと、厳密かつ正確な説明があるならば、ご一報いただければ幸いです。
（冪乗という演算は窮屈なものだなあ、というのが怖いもの知らずの素人の感想です）

質問者からの補足コメント

• ①について。(０^Y)^１０^ｍ＝０となり、a^ｎ＝０（ｎ：自然数）となるとき、a＝０とできるということを言っています。

    補足日時：2021/09/20 13:36

• 再度の補足。前の補足で①としていたのは②の誤りでした。

    補足日時：2021/09/20 13:39

• ー１=e^πiとして計算するやり方も考えてみましたが、こうすると、以下の問題点があるように思われます。
  X＞０の実数、Y:実数のとき、X^Y＝(１・X)^Y＝((e^２πi)・X)^Y＝(e^２πYi)・(X^Y)
  となり、一般には実数とならず、Xが正のときに実数となると結論付けたことと矛盾する。
  Xがマイナスのときは、e^πiであって２πi乗ではないからこうしてもよいのだとするのも、整合性が取れないと思え、ここでは採用しませんでした。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/09/22 11:09

• (ー１)^１/4は複素数とできるようです。（まあ、純実数でも純虚数でもないとはこじつけられるかも）

    補足日時：2021/09/22 11:54

• 前の補足ですが、やはり、そう言い切っていいかどうか…。度々ですが、どうも、混乱しているようです。

    補足日時：2021/09/22 12:21

• ざっと調べた限りの単なる感想なのですが、べき乗におけるarg ZのZの範囲については、どうも、統一された見解はないようですね。あたかも０^０をどう定義するかの如く…。

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/09/23 10:36

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/09/20 19:56

log√2^√2=√2log(2^{1/2})=(√2/2)log2

だから
√2^√2=e^{(√2/2)log2}
と
実数になる

①
X>0の実数,Y;実数の時
logX^Y=YlogX
だから
X^Y=e^(YlogX)
と
実数になる

③
X<0の実数,Y:実数の時
-1=e^(πi)
だから
X=|X|e^(πi)
だから

X^Y
=(|X|^Y)e^(Yπi)
=(|X|^Y){cos(Yπ)+isin(Yπ)}

と複素数になる

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2021/09/22 10:28

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/09/20 22:54

何がしたい質問なのか、いまいち解らんのだけれど、

＞ これは√２^√２が実数であることを仮定しているという指摘があり、
＞ 確かに自明としてよいかは吟味する必要がありそうです。
が論点なのかな？ だとすると、①②③はずいぶん迂遠な気がする。

a^x を実数 x に対して定義したとき、x へ収束する有理数列 q_i によって
a^x = lim[i→∞] a^q_i で定義する... としたはず。
この定義が welldefined であることの証明は高校の教科書に譲るとして、
a^x (ただしxは有理数) の単調性と q_i の収束性から
a^q_i はコーシー列であることが言えるので、実数内に極限を持つ。
よって、x が実数の範囲でも a^x は実数値をとり、連続である。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2021/09/22 10:27

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/09/22 19:30

＞ (-１)^１/4は複素数とできるようです。

No.2 は、 √2 > 0 であることを利用しています。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2021/09/23 10:18

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/09/22 20:28

X=re^(it)

r>0
0<t<2π
の時

X^Y=(r^Y)e^(itY)
と
定義するのです
だから
t≠2πです

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/09/23 04:06

X=|X|e^(i{arg(X)})

|X|>0
-π<arg(X)≦π

X^Y=(|X|^Y)e^(i{arg(X)}Y)
と
定義するのです
だから
arg(X)≠2πです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2021/09/23 10:21

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/09/23 11:04

主値

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%BB%E5%80%A4
に書いてある通り
複素数の偏角の主値は
[0,2π)
(-π,π]
のどちらかで定義されるのです
だから
偏角の主値が2πになる事はありません
偏角の主値に対して指数を定義するのです

X=|X|e^(i{arg(X)})
|X|>0
-π<arg(X)≦π

X^Y=(|X|^Y)e^(i{arg(X)}Y)
と
定義するのです
だから
arg(X)≠2πです