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「無理数の無理数乗が無理数になることがある」という命題を、logを使わずに証明出来るでしょうか?

A 回答 (8件)

> あ、ご自分で間違いに気付きました?



まだやってるの?
No.6 に間違いがあると言うのなら、
どこが間違ってるのか書いてごらん。
どうして毎度毎度、無内容に煽ることしかできないのか。
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この回答へのお礼

プンプン

>例えば、中学高校の教科書範囲でやろうとすれば、
>集合の濃度よりも更に大幅に大袈裟な道具を使って...
>x → a^x の連続性より 0 ≦ x ≦ 1 の範囲で
>a^x は a^0 と a^1 の間の任意の実数値を取ることができるが、
>その中には無理数値も含まれる なんてやり方もできる。
>ま、濃度を使うほうが遙かに初歩的でシンプルだが。

>さて、こいつは、中間値定理を知らんのか、
>x→a^x が連続であることがわからんのか。


あなたの頭の悪さを指摘かすると可哀想かと思って反応すべきかどうか迷っていたのですが、勘違いしたままでいさせるのも逆に憐れかも知れませんので、教えておいてあげますね。

あなたが言っているのはx→a^xは連続なので、中間値の定理により、ある無理数c∈(a^0,a^1)に対して実数rが存在して
a^r=c
となる、それだけしか言ってませんよね。
rを無理数にとれる根拠はなんなんですか?
勝手にrを無理数にしていいと思い込んでませんか?

思い上がりを鎮めて、少しは反省する時間をとってみたらいいと思いますよ、ありものがたりさん。

お礼日時:2021/09/30 06:54

もう、虚勢はいいよ。

飽きた。
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この回答へのお礼

プンプン

あ、ご自分で間違いに気付きました?

お礼日時:2021/09/23 07:59

> aの冪が上手く無理数になりますかね?



さて、こいつは、中間値定理を知らんのか、
x→a^x が連続であることがわからんのか。
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この回答へのお礼

ムッ

分かってないのはあなたでしょw

お礼日時:2021/09/23 07:28

No.3 No.4 の人にもまた、ケチをつけるだけで


それじゃあどんなふうに証明してほしいのか を書いていないようだが...
「思いつくままにどうぞ」は看板に偽りありだな。人柄が伝わってくるね。

例えば、中学高校の教科書範囲でやろうとすれば、
集合の濃度よりも更に大幅に大袈裟な道具を使って...
x → a^x の連続性より 0 ≦ x ≦ 1 の範囲で
a^x は a^0 と a^1 の間の任意の実数値を取ることができるが、
その中には無理数値も含まれる なんてやり方もできる。
ま、濃度を使うほうが遙かに初歩的でシンプルだが。
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この回答へのお礼

プンプン

>a^x は a^0 と a^1 の間の任意の実数値を取ることができるが、
>その中には無理数値も含まれる

詳しくお願い出来ますか?
aの冪が上手く無理数になりますかね?

お礼日時:2021/09/22 20:02

すみません、


てっきりlogをつかわないでという唯一の前提の中で
「できるでしょうか」と問われていたので、
できるなんてのは当たり前として、
簡明な方法をお尋ねかと、勘違いしてしまいました。

数学が得意でない私が即座に気づいたので「簡明な手法」なのは間違いないとして、より手の込んだ複雑な証明を求めていらっしゃるのですね。

こりゃ、およびでないということで。  大変に失礼いたしました。
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この回答へのお礼

ムッ

あなたが思いついたのは簡明な手法などてはなく、大袈裟な手法です。
牛刀割鶏ということです。

お礼日時:2021/09/21 21:11

私は数学が得意ではありませんが、


問題読んで1秒後には、「濃度で証明できるね、むしろなんでlogなんか使うんだろう」と思いました。
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この回答へのお礼

どう思う?

それはただ単に、数学が得意でない人が1秒しか考えてない状態だと、程度の低い考えしか出てこない、というだけのことではないでしょうか?
あまりにも当然のことですのでなんとお返事すればいいのかよく分かりませんが、もう少し考えてみてはいかがでしょう?
1秒以上考えることがないから数学が得意ではないのかもしれませんし。

お礼日時:2021/09/21 20:26

←No.1 補足


またケチをつけているのか、相変わらずの芸風だなあ。
自明な命題であることの自明さ加減を
シンプルに表現した証明だと思うんだけどね。

例によって今回も想定解答があるんだろうから、
どんな証明が希望なのかを少しは説明してごらんよ。
No No だけ言ってても、話はそちらへ近づいていかないから。
回答は、福引じゃないんだし。
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a を 1 より大きい無理数のひとつとする。


x∈実数で定義された関数 x → a^x は、狭義単調増加である。
狭義単調なので、定義域から値域への全単射である。

この関数を x∈無理数 に制限しても、やはり全単射となる。
制限された定義域は無理数全体の集合なので、連続体濃度。
これを全単射が移す像も連続体濃度だが、
全ての値が有理数だと仮定すると可算になってしまうから矛盾。
よって、a^x の値の中には無理数のものがある。
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この回答へのお礼

プンプン

こんな素朴なことを示すのに実数の濃度なんて大袈裟なものを持ち出してくる必要があるのでしょうか?

お礼日時:2021/09/21 03:52

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