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(2)で何故ノートのようにPを(s,t,0)とおき最小値を求めることができないのですか?

「(2)で何故ノートのようにPを(s,t,」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • Pを(s,t,0)とおき最小値の距離をを平方完成から求めることは何故出来ないのですか?

    「(2)で何故ノートのようにPを(s,t,」の補足画像1
      補足日時:2021/09/22 20:09
  • AP^2 + BP^2 はAPとBPそれぞれの距離の最小値の和となりAP+BPの最小値を求めることになりませんか?

      補足日時:2021/09/24 11:18

A 回答 (4件)

No.3 です。

「補足」に書かれたことについて。

>AP^2 + BP^2 はAPとBPそれぞれの距離の最小値の和となりAP+BPの最小値を求めることになりませんか?

ああ、そういう発想ですか。

でも、そうはなりません。
数式で書けば
 (x + y)^2 - (x^2 + y^2) = 2xy
つまり
 (x + y)^2 = (x^2 + y^2) + 2xy
なので、x, y の条件によって「『x^2 + y^2』が最小になっても、『(x + y)^2』つまり『x≧0, y≧0 での x + y』が最小になるとは限らない」ということです。

与えられた問題で考えてみれば、3次元だと複雑になるので、xz 平面だけで
 A(2, 0, 3)
 B(1, 0, 1)
にしてみましょうか。

P(s, 0, 0) とすれば

AP = √[(s - 2)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 3)^2] = √(s^2 - 4s + 13)
BP = √[(s - 1)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 1)^2] = √(s^2 - 2s + 2)

よって
 AP^2 + BP^2 = (s^2 - 4s + 13) + (s^2 - 2s + 2)
       = 2s^2 - 6s + 15
       = 2(s^2 - 3s + 9/4) - 9/2 + 15
       = 2(s - 3/2)^2 + 21/2
従って、
 最小となるのは s = 3/2 のときで、最小値は 21/2
ということになります。

この最小値を k^2 とすると
 min(AP^2 + BP^2) = k^2 = 21/2
なので、k>0 とすれば
 k = √(21/2) = (√42)/2
ということになります。

このとき、A からの入射角(z 軸の方向との角度)θa と B への反射角(z 軸の方向との角度)θb を考えると
 tan(θa) = (2 - 3/2) / 2 = 1/4
 tan(θb) = (3/2 - 1) / 1 = 1/2
となるので、明らかに入射角と反射角が違いますね。
これは「xy 平面に対するBの鏡像:B'」を作ったときに、
 A - P - B'
が直線にならないということです。
ということは、このときの P は
 AP + BP
を最小とする点にはなっていません。

自分でも考えてみてください。
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No.2 です。



あなたのやり方でやろうとすると

AP + BP = √[(s - 2)^2 + (t - 0)^2 + (0 - 3)^2] + √[(s - 1)^2 + (t - 2)^2 + (0 - 1)^2]
= √(s^2 - 4s + t^2 + 13) + √(s^2 - 2s + t^2 - 2t + 6)

の最小値を探すことになって、ちょっと高校数学では手に負えませんね。
これを2乗しても、平方根は消えません。

模範解答にあるように、Bの xy 平面に対する対称点、つまり「Bの鏡像:B'
」を作って、AB' 間の「直線距離」を求めるのが通常の解き方でしょうね。

「計算式を何とかこねくり回して解を見つける」のではなく、「解はどのようにすれば見つけるか」を先に考えるということです。
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No.1 です。

「補足」の (2) でよいのですね?

あなたがノートに書いているのは

 AP^2 + BP^2

ではありませんか?

求めるべきものは
 AP + BP
です。
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肝心な問題も、ノートに書かれたものも、ぼやけて読めません。

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