ローラン展開において、留数を求める時に積分しますが、ローラン展開から留数を求めるために積分するまでの

ローラン展開において、留数を求める時に積分しますが、ローラン展開から留数を求めるために積分するまでの計算を教えて頂けないでしょうか？
どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• ローラン展開において、留数を求める時に積分しますが、ローラン展開からn=-1の時の留数2πi×(定数)を求めるために積分するまでの計算を教えて頂けないでしょうか？ どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2021/09/22 17:22

• ありがとうございます。
  出来れば画像のローラン展開の式から2πiが導かれるまでの過程の式を教えて頂けないでしょうか。

  
    補足日時：2021/09/23 00:30

• 出来れば画像のローラン展開の式から留数2πiが導かれるまでの過程の式を教えて頂けないでしょうか。

    補足日時：2021/09/23 00:35

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/09/23 08:09

＞ 留数を求める事で何がわかるのでしょうか？

留数の値がわかるにきまっているでしょう？
留数の値がわかると、留数定理がいろいろな積分に応用できる。

＞ なぜローラン展開を積分して得られた数値を留数と定義したのでしょうか？

定義するぶんには、ローラン展開しなくても
z = a に孤立特異点を持つ関数 f(z) に対して {1/(2πi)}∮(z-a)^n dz だけでいい。
ローラン展開は、それを求める手段にすぎないよ。

＞ ローラン展開の積分に関して、なぜ n ≠ -1 以外の式は 0 になるのでしょうか。

それは、もう書いたでしょ。
(z-a)^n に収束円環内で一価正則な原始関数が存在するから。
閉路積分は ∮(z-a)^n dz = F(終点) - F(始点) = 0 になる。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
あの留数定数がどのようにいろいろな積分に応用出来るのでしょうか？
どうもイメージが難しくて。
どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2021/09/23 17:16

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/09/23 07:47

ローラン展開は、収束円環の内部で広義一様収束するので、

積分するとき項ごとに積分してよい。(∫とΣの順番が入れ替え可能。)
そこで ∮(z-a)^n dz を考えると、
n ≠ -1 のときは不定積分 ∫(z-a)^n dz = {1/(n+1)}(z^a)^(n+1) + (定数)
が存在するので、閉路積分は ∮(z-a)^n dz = 0.
n = -1 のときは不定積分が一価にならないが、積分路として
a を中心とする収束円環内の円周(半径 r)を採用すれば
∮(z-a)^n dz = ∫[0,2π] (re^(iθ))^-1 (re^(iθ)idθ)
　　　　　　= ∫[0,2π] i dθ
　　　　　　= (2π - 0)i.
以上をまとめて、
∮f(z) dz = ∮ΣA[n](z-a)^n dz
　　　　= ΣA[n]∮(z-a)^n dz
　　　　= A[-1] ２πi.

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ちなみに、留数を求める事で何がわかるのでしょうか？また、なぜローラン展開を積分して得られた数値を留数と定義したのでしょうか？
最後にローラン展開の積分に関して、なぜn≠-1以外の式は0になるのでしょうか。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2021/09/23 07:55