『φはdilemmaで』

空集合∅が任意の集合S の部分集合であること、∅⊆Ｓを証明する方法には次のようなものがあるそうです。
「ｘ∉S→ｘ∉∅　対偶をとり　ｘ∈∅→ｘ∈Ｓ　∴∅⊆Ｓ」
これを矛盾法というようですが、しかし、これには難点があると思われます。
「ｘ∈S→ｘ∉∅　対偶をとり　ｘ∈∅→ｘ∉Ｓ　∴∅⊆Ｓは一般には成り立たない」
このように、真逆の結果が導かれてしまうことがあると思われるのです。でもまた、一方では
∅∩S＝∅という性質もあり、これが成り立つならば、∅⊆Sとせざるを得ないでしょう。
これら２つの性質は、空集合∅を定義するものだと見做せる、いや、見做すべきではないでしょうか？
Ａ∩Ｓ＝Ａ、Ａ⊆Ｓ　を満たす集合Aは、元が０個のempty set 、空集合とでもするしかない。
Sの中には、偶数の集合と奇数の集合のように、共通の元が１個もない集合もあり、それらに共通して部分集合となったり、積集合が自分自身となる集合としては、もう、元が１個もない空の集合ということになってしまうでしょうから。
どう考えられるでしょうか？ご意見をお聞かせください。
因みに、矛盾法にはこのような問題が発生する恐れがあるから、証明方法として採用するのはいかがなものかと考えます。少なくとも、対偶法と組み合わせるのはできれば避けたほうが無難と思います。

質問者からの補足コメント

• まず言っておきますが、自分は∅⊆Ｓを否定しているのではなく、肯定しているのです。それから、
  「ｘ∈∅→ｘ∉Ｓ　はｘ∈∅→ｘ∈Ｓ　の否定ではない」のところですが、
  否定にも全否定と部分否定があり、この場合、部分否定となるでしょう。この後に続くあなたの論説も、部分否定のことを示していると思われます。だから、全てのSにおいて成り立つわけではないという意味で、一般的といったのです。
  最後の「(x∈∅)かつ(ｘ∉Ｓ)となるxが存在しないから…」という下りですが、それを証明するということを問題にしているのです。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/09/28 12:49

• 「集合集合S はS∩S＝S…」のところですが、集合集合Sとは何です？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/09/28 12:54

• 「任意の集合Sについて、A∩S＝A、Ａ⊆Ｓ　を満たす、特定の集合Aは、空集合とするしかない」
  と集合Aの条件をもっと厳しくするべきでした。

    補足日時：2021/09/28 14:14

• 「ｘ∈∅→ｘ∉Ｓ　が　ｘ∈Ｓ→ｘ∈Ｓ　の否定でない」とすると、どうなるのか？部分否定でないとすると、全否定となるでしょう。（少なくとも、これは肯定ではないでしょうから）

    補足日時：2021/09/28 15:29

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/09/28 19:16

x∈A→x∈B

が成り立つとき
A⊆B
と定義する

x∈A→x∈B
の意味は
x∉A　または　x∈B　のどちらかが成り立つという意味なのです

x∈S→ｘ∉∅　対偶をとり　x∈∅→x∉S

「∴∅⊆Sは一般には成り立たない」というのは間違いで

Sの補集合を(-S)とすると

x∈∅→x∈(-S)
だから

∅⊆(-S)

が成り立つ

x∈∅→x∉S
は
∅⊆(-S)が成り立つ事をいっているのです

x∈∅→x∈S
は
∅⊆Sが成り立つ事をいっているのです


全てのSにおいて
∅⊆(-S)
と
∅⊆S
の
両方共に成り立つのです

x∈∅→x∈S
の意味は
x∉∅　または　x∈S　のどちらかが成り立つという意味
だから
全てのSにおいてx∉∅が成り立つのです
だから
全てのSにおいて∅⊆Sは成り立つのです

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2021/09/28 18:47

No.2へのコメントについて。

> 「集合集合S はS∩S＝S…」のところですが、集合集合Sとは何です？

ミスタイプ。「集合集合S」じゃなくて「集合S」です。

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/09/28 17:52

ちょっと確認したいのだが

最後の「(x∈∅)かつ(ｘ∉Ｓ)となるxが存在しないから…」という下りですが、それを証明するということを問題にしているのです。
はどう解釈すればいい?

「それを証明する」の「それ」ってどれ? 「それを証明するということを問題にしている」とはどういう意味? 具体的にはどのような「問題」を提起している?

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/09/28 16:54

ｘ∈S→ｘ∉∅　対偶をとり　ｘ∈∅→ｘ∉Ｓ

の次の
　
∴∅⊆Ｓは一般には成り立たない

は
間違いだといっているのです

x∈∅→ｘ∉S
は
x∈∅→x∈S
の
部分否定でもないし全否定でもありません

全てのSにおいて∅⊆Ｓは成り立つのです

x∈∅→x∈S
の意味は
x∉∅　または　x∈S　のどちらかが成り立つという意味なのです
全てのSにおいてx∉∅が成り立つのです
だから
全てのSにおいて∅⊆Ｓは成り立つのです

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/09/27 18:06

∀x(x∈Φ→x∈S) は真なので Φ⊂S

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2021/09/27 14:07

> ∅⊆Ｓを証明する

　証明は定義に戻ってやるんです。∅とは
　　∀x(x∉∅)
ってこと。また、A ⊆Ｓとは
　　∀x(x∈A ⇒ x∈S)
のこと、すなわち
　　∀x(x∉A ∨ x∈S)
という意味なので、A=∅の場合、
　　∀x(x∉∅ ∨ x∈S)
は真。つまり、∅ ⊆Ｓ です。もちろんこれを
　　∀x(x∉S ⇒ x∉∅)
と書いても同じこと。カッコの中だけに注目して、それが対偶の形に見えるかどうか、なんてのはどうでもいい話でしょう。

> Ａ∩Ｓ＝Ａ、Ａ⊆Ｓ　を満たす集合Aは、元が０個のempty set 、空集合とでもするしかない。

　ほええ。そりゃ普通の意味での「集合」とはだいぶ違うな。なぜなら「集合集合Ｓは Ｓ∩Ｓ＝Ｓ、Ｓ⊆Ｓ を満たす。だから、集合Ｓは、元が０個のempty set 、空集合とでもするしかない。」という訳で、どんな集合Ｓも「空集合とでもするしかない」んでしょ？

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2021/09/28 12:05

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/09/27 10:34

x∈S→x∉∅　対偶をとり　x∈∅→x∉S

だからといって
∅⊆Sは一般には成り立たないとはいえません

x∈∅→x∉S
は
x∈∅→x∈S
の
否定ではありません

x∈∅→x∈S
の
否定
は

(x∈∅)かつ(x∉S)となるxが存在する

となります

(x∈∅)かつ(x∉S)となるxが存在しないから

∅⊆Sは成り立つのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2021/09/28 12:50