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空集合∅が任意の集合S の部分集合であること、∅⊆Sを証明する方法には次のようなものがあるそうです。
「x∉S→x∉∅ 対偶をとり x∈∅→x∈S ∴∅⊆S」
これを矛盾法というようですが、しかし、これには難点があると思われます。
「x∈S→x∉∅ 対偶をとり x∈∅→x∉S ∴∅⊆Sは一般には成り立たない」
このように、真逆の結果が導かれてしまうことがあると思われるのです。でもまた、一方では
∅∩S=∅という性質もあり、これが成り立つならば、∅⊆Sとせざるを得ないでしょう。
これら2つの性質は、空集合∅を定義するものだと見做せる、いや、見做すべきではないでしょうか?
A∩S=A、A⊆S を満たす集合Aは、元が0個のempty set 、空集合とでもするしかない。
Sの中には、偶数の集合と奇数の集合のように、共通の元が1個もない集合もあり、それらに共通して部分集合となったり、積集合が自分自身となる集合としては、もう、元が1個もない空の集合ということになってしまうでしょうから。
どう考えられるでしょうか?ご意見をお聞かせください。
因みに、矛盾法にはこのような問題が発生する恐れがあるから、証明方法として採用するのはいかがなものかと考えます。少なくとも、対偶法と組み合わせるのはできれば避けたほうが無難と思います。

質問者からの補足コメント

  • まず言っておきますが、自分は∅⊆Sを否定しているのではなく、肯定しているのです。それから、
    「x∈∅→x∉S はx∈∅→x∈S の否定ではない」のところですが、
    否定にも全否定と部分否定があり、この場合、部分否定となるでしょう。この後に続くあなたの論説も、部分否定のことを示していると思われます。だから、全てのSにおいて成り立つわけではないという意味で、一般的といったのです。
    最後の「(x∈∅)かつ(x∉S)となるxが存在しないから…」という下りですが、それを証明するということを問題にしているのです。

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2021/09/28 12:49
  • 「集合集合S はS∩S=S…」のところですが、集合集合Sとは何です?

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2021/09/28 12:54
  • 「任意の集合Sについて、A∩S=A、A⊆S を満たす、特定の集合Aは、空集合とするしかない」
    と集合Aの条件をもっと厳しくするべきでした。

      補足日時:2021/09/28 14:14
  • 「x∈∅→x∉S が x∈S→x∈S の否定でない」とすると、どうなるのか?部分否定でないとすると、全否定となるでしょう。(少なくとも、これは肯定ではないでしょうから)

      補足日時:2021/09/28 15:29

A 回答 (7件)

x∈A→x∈B


が成り立つとき
A⊆B
と定義する

x∈A→x∈B
の意味は
x∉A または x∈B のどちらかが成り立つという意味なのです

x∈S→x∉∅ 対偶をとり x∈∅→x∉S

「∴∅⊆Sは一般には成り立たない」というのは間違いで

Sの補集合を(-S)とすると

x∈∅→x∈(-S)
だから

∅⊆(-S)

が成り立つ

x∈∅→x∉S

∅⊆(-S)が成り立つ事をいっているのです

x∈∅→x∈S

∅⊆Sが成り立つ事をいっているのです


全てのSにおいて
∅⊆(-S)

∅⊆S

両方共に成り立つのです

x∈∅→x∈S
の意味は
x∉∅ または x∈S のどちらかが成り立つという意味
だから
全てのSにおいてx∉∅が成り立つのです
だから
全てのSにおいて∅⊆Sは成り立つのです
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No.2へのコメントについて。



> 「集合集合S はS∩S=S…」のところですが、集合集合Sとは何です?

ミスタイプ。「集合集合S」じゃなくて「集合S」です。
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ちょっと確認したいのだが


最後の「(x∈∅)かつ(x∉S)となるxが存在しないから…」という下りですが、それを証明するということを問題にしているのです。
はどう解釈すればいい?

「それを証明する」の「それ」ってどれ? 「それを証明するということを問題にしている」とはどういう意味? 具体的にはどのような「問題」を提起している?
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x∈S→x∉∅ 対偶をとり x∈∅→x∉S


の次の
 
∴∅⊆Sは一般には成り立たない


間違いだといっているのです

x∈∅→x∉S

x∈∅→x∈S

部分否定でもないし全否定でもありません

全てのSにおいて∅⊆Sは成り立つのです

x∈∅→x∈S
の意味は
x∉∅ または x∈S のどちらかが成り立つという意味なのです
全てのSにおいてx∉∅が成り立つのです
だから
全てのSにおいて∅⊆Sは成り立つのです
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∀x(x∈Φ→x∈S) は真なので Φ⊂S

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> ∅⊆Sを証明する



 証明は定義に戻ってやるんです。∅とは
  ∀x(x∉∅)
ってこと。また、A ⊆Sとは
  ∀x(x∈A ⇒ x∈S)
のこと、すなわち
  ∀x(x∉A ∨ x∈S)
という意味なので、A=∅の場合、
  ∀x(x∉∅ ∨ x∈S)
は真。つまり、∅ ⊆S です。もちろんこれを
  ∀x(x∉S ⇒ x∉∅)
と書いても同じこと。カッコの中だけに注目して、それが対偶の形に見えるかどうか、なんてのはどうでもいい話でしょう。

> A∩S=A、A⊆S を満たす集合Aは、元が0個のempty set 、空集合とでもするしかない。

 ほええ。そりゃ普通の意味での「集合」とはだいぶ違うな。なぜなら「集合集合Sは S∩S=S、S⊆S を満たす。だから、集合Sは、元が0個のempty set 、空集合とでもするしかない。」という訳で、どんな集合Sも「空集合とでもするしかない」んでしょ?
この回答への補足あり
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2021/09/28 12:05

x∈S→x∉∅ 対偶をとり x∈∅→x∉S


だからといって
∅⊆Sは一般には成り立たないとはいえません

x∈∅→x∉S

x∈∅→x∈S

否定ではありません

x∈∅→x∈S

否定


(x∈∅)かつ(x∉S)となるxが存在する

となります

(x∈∅)かつ(x∉S)となるxが存在しないから

∅⊆Sは成り立つのです
この回答への補足あり
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2021/09/28 12:50

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