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a,b,cが実数のとき、以下の不等式
(a²+2)(b²+2)(c²+2)≧3(a+b+c)²
が成り立つことの証明を知りたいです。

よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)-3(a+b+c)^2


=
(b^2+2)(c^2+2)a^2+2(b^2+2)(c^2+2)-3a^2-6(b+c)a-3(b+c)^2
=
(b^2c^2+2b^2+2c^2+4)a^2-3a^2-6(b+c)a+2(b^2+2)(c^2+2)-3(b+c)^2
=
(b^2c^2+2b^2+2c^2+1)a^2-6(b+c)a+2b^2c^2+4b^2+4c^2+8-3b^2-6bc-3c^2
=
(b^2c^2+2b^2+2c^2+1)a^2-6(b+c)a+8+2b^2c^2+b^2+c^2-6bc
=
(b^2c^2+2b^2+2c^2+1)a^2-6(b+c)a+6+2(bc-1)^2+(b-c)^2
=
{[{(b^2c^2+2b^2+2c^2+1)a-3(b+c)}^2-9(b+c)^2]/(b^2c^2+2b^2+2c^2+1)}+6+2(bc-1)^2+(b-c)^2
=
{[{(b^2c^2+2b^2+2c^2+1)a-3(b+c)}^2+6(b^2c^2+2b^2+2c^2+1)-9(b+c)^2]/(b^2c^2+2b^2+2c^2+1)}
+2(bc-1)^2+(b-c)^2
=
{[{(b^2c^2+2b^2+2c^2+1)a-3(b+c)}^2+6b^2c^2+12b^2+12c^2+6-9b^2-18bc-9c^2]/(b^2c^2+2b^2+2c^2+1)}
+2(bc-1)^2+(b-c)^2
=
{[{(b^2c^2+2b^2+2c^2+1)a-3(b+c)}^2+6b^2c^2+3b^2+3c^2+6-18bc]/(b^2c^2+2b^2+2c^2+1)}
+2(bc-1)^2+(b-c)^2
=
{[{(b^2c^2+2b^2+2c^2+1)a-3(b+c)}^2+6(bc-1)^2+3(b-c)^2]/(b^2c^2+2b^2+2c^2+1)}+2(bc-1)^2+(b-c)^2
≧0
「a,b,cが実数のとき、以下の不等式 (」の回答画像1
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この回答へのお礼

あなたに会えてよかった

凄いですね…。
言われたら当たり前の平方完成ですけど、なかなか出来ることではないです。

ありがとうございました。

お礼日時:2021/10/03 12:22

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