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数学Aで、理解に苦しんでいます。
互除法を使う一次不定方程式のところで、  
(1)等式31x+17x=1を満たす整数x,yの組をひとつ求めよ。
(2)等式31x+17y=4を満たす整数x,yの組を
ひとつ求めよ。
問題集をやっておりそれぞれの答が
(1)x=-6、y=11 (2)x=-24、y=44
となっています。
(2)は(1)が途中からわからなくなっているので手がでないのですが、
(1)の、等式31x+17x=1を満たす整数x,yの組で、互除法を使って
3=2×1+1 (1=3-2×1)までは理解出来るのですが、自分が全く理解に苦しんでいるのが、
互除法を使って3=2×1+1からどうやって
x=-6、y=11を導いたのかが理解できません。計算過程を解説付きで教えていただけないでしょうか。

教えて!goo グレード

A 回答 (3件)

31x+17y=1



31-17=14
17-14=3
14-3*4=2
3-2=1

↓2に2=14-3*4を代入すると

3-(14-3*4)=1
3-14+3*4=1
3+3*4-14=1
3(1+4)-14=1
3*5-14=1

↓3に3=17-14を代入すると

(17-14)*5-14=1
17*5-14*5-14=1
17*5-14(5+1)=1
17*5-14*6=1

↓14に14=31-17を代入すると

17*5-(31-17)*6=1
17*5-31*6+17*6=1
-31*6+17*5+17*6=1
31(-6)+17(5+6)=1

31(-6)+17*11=1
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この回答へのお礼

大変勉強になりました。

お礼日時:2021/09/29 14:03

>3=2×1+1 (1=3-2×1)までは理解出来るのですが



だったら、そこから 順番に
初めの 14=31-17*1 まで 遡って 計算します。
すると 1=31*(-1)+17*11 になる筈です。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2021/09/29 14:02

互除法の割り算は、3=2×1+1 だけじゃなかったでしょ。


31 と 17 で互除法を行うと、
31 = 17×1 + 14,
17 = 14×1 + 3,
14 = 3×4 + 2,
3 = 2×1 + 1,
2 = 1×2 + 0.
だったはず。 最後に割り切った 1 が 31 と 17 の最大公約数です。
この式を下から順にたどって、
1 = 3 - 2×1,
2 = 14 - 3×4,
3 = 17 - 14×1,
14 = 31 - 17×1.
途中に現れた各あまりをその次の式を使って順に消去してゆくと、
1 = 3 - 2×1                     }
 = 3 - (14 - 3×4)×1 = 14×(-1) + 3×5        } ※
 = 14×(-1) + (17 - 14×1)×5 = 17×5 + 14×(-6)   }
 =17×5 + (31 - 17×1)×(-6) = 31×(-6) + 17×11.  }
最大公約数 1 が 31 と 17 の一次式で表されました。
この 31×(-6) + 17×11 = 1 と
  31x + 17y = 1 を見比べて、
x = -6, y = 11 が解のうちのひとつだと判ります。

31×(-6) + 17×11 = 1 の式を両辺 4 倍すれば
31×(-6×4) + 17×(11×4) = 4 で、この式と
31x + 17y = 4 を見比べて、
x = -24, y = 44 が解のうちのひとつだと判りますね。

※ の所の計算は、自力で発明するのは難しいです。
やり方を覚えておくとよいと思います。
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この回答へのお礼

詳しい解説感謝致します。

お礼日時:2021/09/29 14:02

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