超平面を表す方程式の係数の求め方

たとえば、以下のような超平面を表す方程式、（１）、（２）があるとします。
ただし、z1 ～z3 は所与の値とし、（２）式のc1～c3 を求めるべき係数とします。


z1+z2+z3 = 1 ---(1)

c1z1+c2z2+c3z3 =1 ----(2)　※c1,c2,c2 は求めたい係数。

質問①
まず、上記のような(1),(2)式で表される超平面 はお互いに直交しているものと考えてよいのでしょうか？


質問②
仮に、(1),(2) 式で表される超平面が直交している場合、その係数は、[1,1,1]*[c1, c2, c3]T = 0 （ただし、"[c1,c2,c3]T" の"T"は転置を表す記号とします)、すなわちc1+c2+c3=0
と考えてよろしいのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 参考までに元の論文のリンクを張っておきます。
  
  https://people.dsv.su.se/~tony/papers/dmin_2015. …

    補足日時：2021/09/30 23:05

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/09/30 23:33

←補足

その元の論文は、数学の教科書ではないから
数学上の部分については細かく説明してはいない。
II. METHOD の
A. The node-splitting algorithm の節に
目的は optimal node splittinghyperplane を見つけること
だと書いてあるが、 何が optimal なのかの説明は無い。
おそらく、その論文の分野では当然のことで
説明するまでもないということなのだろう。
(あるいは、論文の著者がチャランポランな奴なのか、どっちか。)
そして、 optimal node splittinghyperplane の定義
の一部に (1) と直交することが含まれているに違いない。

ともかく、 No.1 にも書いたように、 (1) と (2) の式だけを見て
これらがが直交すると判断できるワケはない。
式とは別に (1) と (2) が直交するという条件を要請するからこそ、
そこから導かれる結論として (3) が成立する。
その要請の出自、 Hyperplanes represented by equation 1 and 2
are assumed to be orthogonal, の理由を、その論文は説明していない。
参考文献 [8] あたりに書いてあるんじゃないかと想像するが、知らん。

この回答へのお礼

再度回答ありがとうございます。

>>目的は optimal node splittinghyperplane を見つけること
だと書いてあるが、 何が optimal なのかの説明は無い。
おそらく、その論文の分野では当然のことで...

これはたぶん解空間（平面）を情報量（information gain) が最大化するように分岐させることを最適化といっているんだと思います。機械学習の分野では情報量を最大化するような分岐点（分離超平面）をみつけるアルゴリズムは結構ホッとなテーマですので。

>>　ともかく、 No.1 にも書いたように、 (1) と (2) の式だけを見て
これらがが直交すると判断できるワケはない。

ありがとうございます。これが知りたかったです。安心しました。

お礼日時：2021/10/02 14:05

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/09/29 21:36

質問以前に、３次元空間の超平面って

ただの平面のことなんだけど。
なぜわざわざ「超平面」って？

①
単に式(1)(2)が与えられただけで、他に何も注記がないなら、
(1)と(2)が直行すると考える理由は何も無い。
君はなぜ直交すると思ったの？

②
超平面が直交 ⇔ 法線ベクトルが直交
だから、(1)(2)が直行する条件は c1 + c2 + c3 = 0 でよい。
この条件が無ければ 2面は直交しないから、
①のようなことにはならない。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

＞＞質問以前に、３次元空間の超平面って
ただの平面のことなんだけど。
なぜわざわざ「超平面」って？

元の論文にhyperplane とあったので超平面としました。（
（なお、元の論文での議論はそもそも３次元に限定されていません。）

＞＞①単に式(1)(2)が与えられただけで、他に何も注記がないなら、
(1)と(2)が直行すると考える理由は何も無い。

ただ、（１）と直交する平面を調べる必要がある場合、（１）と直交する平面をとりあえず、（２）式のようにおいた上で、その係数を求めるアプローチは数学的に誤りではないですよね？
というのは（１）の平面が実数全体からなる３次元空間に横たわっていると考えると、（１）式で表される平面を傾けた平面、例えば、34z1+5z2+74z3 =1 といったような平面が存在すると考えることはできるはずだし、（１）式と直交する平面、c1z1+c2z2+c3z3 =1 が存在すると考えてもやはり問題はないですよね？

＞＞君はなぜ直交すると思ったの？

元の論文140pに　（１）（２）assumed to be orthogonal と書いてあったからです。これは最初私も腑に落ちなかったのですが、ただ、解平面と直交する境界線（平面）を見つけて、その境界線（平面）をとっかかりに機械学習で使う決定木の分岐ポイントを探す的なことをやりたいようです。


＞＞②
超平面が直交 ⇔ 法線ベクトルが直交
だから、(1)(2)が直行する条件は c1 + c2 + c3 = 0 でよい。

ありがとうございます。

お礼日時：2021/09/30 23:26