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高校数学です。
過去問にあった問題なのですが
解答もなく解説もないのでよくわかりません…。

私の答えは 1/24(x⁴-1/x⁴)でした。
正直難しくて全然わからなかったので
わかる方、答えと解き方教えてください!

「高校数学です。 過去問にあった問題なので」の質問画像

A 回答 (5件)

x² + 1/x² = 6, 0 < x < 1.


x² = t と置くと、 t + 1/t = 6, 0 < t < 1.
方程式は t² - 6t + 1 = 0 と書き換えられるから、   ←[1]
解の公式より t = 3±√8. 0 < t < 1 より t = 3-√8. ←[2]

t + 1/t = 6 を両辺 2乗して、 t² + 2 + 1/t² = 36.   ←[3]
これらを使って、 (1/24)(x⁴ - 1/x⁴)
= (1/24)(t² - 1/t²) = (1/24)(t² - (34 - t²))  ←[3]を使った
= (1/12)(t² - 17) = (1/12)((6t - 1) - 17)   ←[1]を使った
= (1/2)(t - 3) = (1/2)((3-√8) - 3)      ←[2]を使った
= (1/2)(-√8) = -√2.
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この回答へのお礼

方程式 t²-6t+1=0ってどうやってなるのですか?

お礼日時:2021/09/30 19:41

> 方程式 t²-6t+1=0 ってどうやってなるのですか?



t + 1/t = 6 の解は t = 0 ではないから、
両辺を t 倍しても方程式は変わらない。 t² + 1 = 6t.
移項すると、 t² - 6t + 1 = 0.

解くのは、解の公式でいい。
t = { 6 ± √(6² - 4・1・1) }/2
 = { 6 ± √32 }/2
 = 3 ± √8.
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(x^2)+(1/x^2)=6より、


{(x^2)-(1/x^2)}^2=[{(x^2)+(1/x^2)}^2]-4=36-4=32
ここで、0<x<1より、0<x^2<1<1/x^2
よって、(x^2)-(1/x^2)=-4√2
(x^4)-(1/x^4)={(x^2)+(1/x^2)}{(x^2)-(1/x^2)}=-24√2
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なんでxを残す?


x²=uとして u²-6u+1=0 →u=(6±√(36-4)/2=3±2√(2)

条件にあうuを選んで、後は計算するだけ。
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x^2=tとおく。

0<x<1 なので、0<t<1の条件が付く。
さて、
x^2+1/x^2=6
t+1/t=6
t^2+1=6t
t^2-6t+1=0
t=3±2√2
先に確認したように、0<t<1 なので、t=3-2√2のみが適格。
ところで、t^2-6t+1=0よりt^2=6t-1なので
t^2=17-12√2
1/t^2=1/(17-12√2)=(17+12√2)/{(17-12√2)・(17+12√2)}
=(17+12√2)/(289-288)
=(17+12√2)

故に
(1/24)・(x^4-1/x^4)
=(1/24)・(t^2-1/t^2)
=(1/24)・{(17-12√2)-(17+12√2)}
=(1/24)・(17-12√2-17-12√2)
=(1/24)・(-24√2)
=-√2
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