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二次方程式x^2+px+q=0においてp・qがともに奇数ならば(x+a)(x+b)=0の形に因数分解できないことを示しなさい。a,bは整数とする
という問題を教えてください。
数学があまり得意ではないので教えて頂けると助かります。
よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

普通に (x+a)(x+b) を展開すれば わかるでしょ。


(x+a)(x+b)=x²+(a+b)+ab 。
質問の始めの式 x²+px+q と比較すると、
a+b=p, ab=q ですね。
ab=q で q が奇数ならば a, b は共に奇数でなければなりません。
すると a+b は 奇+奇=偶 で p は 偶数になります。

別の考え方。
a+b=p が 奇数と云う事は
a, b のどちらかが 偶数で,他方が奇数になります。
すると ab=q は 必ず 偶数になります。
従って p, q が共に 奇数であることは あり得ません。
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二次方程式x^2+px+q=0を(x+a)(x+b)=0の形に因数分解できれば


p・qがともに偶数である。
p=a+b , q=ab
p=奇数+奇数か、偶数+偶数ですが、奇数+奇数の時q=奇数で偶数に
ならない。
対偶が間違いなので、命題も間違い。
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二次方程式の解と係数の関係 p = a+b, q = ab があります。


公式にたよらなくても、(x+a)(x+b) を展開すればこの関係は判りますね。
q が奇数ならば q = ab より a, b は共に奇数ですが、
だとすると p = a+b より p が偶数になってしまい、 p が奇数であることに反します。
よって、背理法より、そのような因数分解はできません。
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