(0,π/2)から無作為かつ独立に2つの実数α,βを選ぶ。AB=1,∠CAB=α,∠CBA=βをみた

(0,π/2)から無作為かつ独立に2つの実数α,βを選ぶ。AB=1,∠CAB=α,∠CBA=βをみたす△ABCの面積の期待値はいくらになるのでしょうか？

No.15 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2021/10/11 14:18

K(x)の分母にはxが来るわけない？そんなことがどうして分かってしまうんだろうか、テンサイですかね。

　どうも質問者が式を理解できてないようだが、まあさておき、久しぶりに岩波の公式集を引っ張り出し、本気出してもう一回やってみた。

[1]三角形(-1,0),(1,0),(x,y)について、この三角形の面積はy。計算したいのは
　　S = ∫{0～π/2]∫{0～π/2] y dαdβ
だけど、α,βの対称性から
　　S = 2 ∫{0～π/2]∫{0～β] y dαdβ
ここで
　　y = 2 tanαtanβ/(tanα+tanβ)
　　　= (tanα) (2(tanα + tanβ) - 2tanα)/(tanα + tanβ)
　　　 = 2 tanα - 2((tanα)^2)/(tanα + tanβ)
なので
　　S = P - Q
　　P = 2 ∫{0～π/2]∫{0～β] (2 tanα) dαdβ
　　Q = 2 ∫{0～π/2]∫{0～β] (2((tanα)^2)/(tanα + tanβ)) dαdβ
とする。P＞0, Q＞0は自明。

[2] Pについて
　　∫{0～β] (2 tanα) dα = 2∫{0～β] tanα dα = -2log(cosβ)
だから
　　P = -4 ∫{0～π/2] log(cosβ)dβ
ここで
　　F(β) = ∫ log(cosβ)dβ
　　　= -β log(2) - (1/2)Σ{k=1～∞} ((-1)^k)(sin(2kβ))/(k^2) + Const
それで
　　F(0) = 0, F(π/2) = -(π/2) log(2)
したがって、
　　P = -4 (F(π/2) - F(0)) = 2π log(2)
これで、Sが収束するとわかった。

[3] Qについて。
　　Q = 4 ∫[{0〜π/2} ∫[0〜β} ((tanα)^2)/(tanα + tanβ) dα dβ
なので
　　J = ∫{0～β} ((tanα)^2)/(tanα + tanβ)dα
とおいて、
　　t = tanα, dt/dα = 1 + t^2
と置換すると
　　J = ∫{0～ tanβ} (t^2)/((t + tanβ)(1 + t^2))dt
　　= log(2)((sinβ)^2) - βtanβ((cosβ)^2) -((cosβ)^2) log(cosβ)
そして、
　　∫{0〜π/2) ((sinβ)^2) dβ = π/4
　　∫{0～π/2) βtanβ((cosβ)^2) dβ = π/8
　　∫{0～π/2) ((cosβ)^2) log(cosβ) dβ = π/8 - (π/4)log(2)
より、
　　Q = 4 ∫{0～π/2) J dβ = 2πlog(2) - π
だから
　　S = P - Q = π
だな。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
大変よく理解できました。

お礼日時：2022/03/07 12:20

No.16 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/10/13 09:13

#15さんは、確率密度関数を掛けて積分するのを忘れているのでは？

キチンとトレースしたわけじゃないですが。

No.14 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/10/10 00:58

それに、閉区間ではなく、開区間ですしね。

No.13 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/10/10 00:43

そりゃ、たまにはトキントキンの無限大に近い値が出るけれども、同様な指数分布の平均が無限大になりますか。

違うでしょう。

もっと言えば、正規分布だってー∞～∞まで値を取りますが、平均は発振して不定になりますか。違うでしょう。

とはいえ、私はいまだに証明に辿り着いていないので、偉そうなことは言えませんが・・・。

No.12 回答者： stomachman 回答日時： 2021/10/09 20:26

No.11へのコメントについて。

> どう計算したら分母にxが残るのか

　何がわからんのかさっぱりわからんけど
　　(U^2 - V^2) = (1+x)^2 - (1-x)^2 = 4x

この回答へのお礼

いやだから……、大丈夫？

全体としてなぜ分母にxが残り続けるのか、お前はどういう計算をしとるんだ？、
という質問なのですが…。

お礼日時：2021/10/09 20:29

No.11 回答者： stomachman 回答日時： 2021/10/09 15:50

素直に計算してみた。

ただし底辺の長さを2にしました。
　A = (-1,0), B = (1,0), C=(x,y) を頂点とする三角形で、α = ∠CAB, β=∠CBA とし、|A-C| = a, |B-C| = b とおくと、
　　a^2 = y^2 + (1+x)^2
　　b^2 = y^2 + (1-x)^2
　　sinα = y/a, sinβ=y/b
　　cosα=(1+x)/a, cosβ=(1-x)/b
　　cotα + cotβ = 1/y
さて、欲しいのは
　　E =(4/(π^2))S
で、ここに、
　　S = ∫ ∫ y dαdβ （積分範囲はどっちも0～π/2).

　そこで、(α,β)から(x,y)へのヤコビアンJを考える。
　　∂α/∂x = -y/(a^2), ∂α/∂y = (1+x)/(a^2),
　　∂β/∂x = y/(b^2), ∂β/∂y = (1-x)/(b^2)
だと思うんで、
　　|J| = 2y/((ab)^2)
なので
　　S = ∫{-1〜1} K(x) dx
ただし
　　K(x) = ∫{0～∞} y |J| dy
　 = 2 ∫{0～∞} (y^2)/((y^2 + U^2)(y^2 + V^2)) dy
　　（U = (1+x), V=(1-x)とした。)
すると、不定積分が
　　∫(y^2)/((y^2 + U^2)(y^2 + V^2)) dy
　　　= (U Atan(y/U) - V Atan(y/V))/(U^2 - V^2) + C
となる（ここに、Atan(y/U)=α, Atan(y/V)=β ）から、
　　K(x) = π/(2x)
じゃないかな。てことは、
　　S =(π/2) ∫{-1～1} (1/x) dx
あらら、これは発散？　α,βがπ/2にごく近いときに、途轍もない「ときんときん」が発生するってことかしらん。

　いや、例によって計算間違いかも。

この回答へのお礼

>　　　= (U Atan(y/U) - V Atan(y/V))/(U^2 - V^2) + C
>となる（ここに、Atan(y/U)=α, Atan(y/V)=β ）から、
>　　K(x) = π/(2x)


どう計算したら分母にxが残るのか詳しくお願い出来ますか？

お礼日時：2021/10/09 18:25

No.10 回答者： r_umaniamnvi_the_5th 回答日時： 2021/10/04 06:11

枕さんおはようございます。

　期待値は無限大に発散します。ときんときんにとんがった三角形がαとβの両方が899999°のあたりにあるからです。6面 dice があって場合の数は6通りです。各々の面に1と2と3と4と5と6の数が書いてあります。600面 dice があって場合の数は600通りです。各々の面に0.51と0.52と…と6.50の数が書いてあります。1.00の出る確率は1/600です。出る目の期待値は(0.51+0.52+…+6.50)/600=(0.51+6.50)*600/(2*600)=7.01/2です。(α, β)があって各々の場合を(29°,29°),(29°,59° ),(29°,89°),(59°,29° ),…,(89°,89°)の9通りです。各々の場合に1/2*sinα*sinβ*(1/sin(α+β))の数が書いてあります。一個の場合は確率と対応する値です。1/9*1/2*sin29°*sin29°*(1/sin(29°+29°))を足し合わせます。出る面積の期待値は(1/9)*(0.15+0.26+0.44+…+34.5)=4.4です。(α, β)があって各々の場合を(10°*n,10°*n)でnは1から8の64通りです。足し合わせると面積の期待値は(1/64)*(64個の三角形の面積の和)=0.41です。(α, β)があって各々の場合を(5°*n,5°*n)でnは1から17の289通りです。足し合わせると面積の期待値は(1/17^2)*(289個の三角形の面積の和)=0.45です。細かくすると増えます。(α, β)があってから0からΠ/2の間で場合の数がたくさん通りです。各々の場合に1/2*sinα*sinβ*(1/sin(α+β))の数が書いてあります。Σαが0からΠ/2までとβが0からΠ/2までで1/2*sinα*sinβ*(1/sin(α+β))の中の一番ときんときんにとんがった三角形は 1/2*sin(dθ*R)*sin(dθ*R)*(1/sin(dθ*R+dθ*R))です。(sinx)^2/sin2xを微分します。2sinxcsc(2x)(cosx-sinxcos2x))を微分します。2 csc(2 x) (cos^2(x) - 4 cos(x) cot(2 x) sin(x) + (-1 + 2 cot^2(2 x) + 2 csc^2(2 x)) sin^2(x))です。非可算無限個に細かくするとすると発散します。分母はR^2です。2回微分すると2です。分母は定数で分子は無限大です。αとβが大きくなるとαとβの大きくなり具合の大きくなり具合よりももっと1/2*sinα*sinβ*(1/sin(α+β))の大きくなり具合の大きくなり具合が大きいです。あんまりときんときんにとんがってない三角形も一緒に全部足し合わせた(1/非可算無限^2個)*(非加算無限^2個の三角形の面積の和)は無限大に発散します。

この回答へのお礼

発散はしないと思います。

お礼日時：2021/10/04 09:26

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/10/03 21:49

うーん、うまく行かないなあ。

Wolfram は ∫[0,+∞] (t² log t)/(1 + t²)² dt = π/4 だと言ってるので、
No.7 の結果は E[△ABC] = (2/π²){ π/4 + π/4 } = 1/π となって
No.8 のヤマカンとも一致しそうなんだけど...

なんか、どう弄っても、部分積分したところで ∞ - ∞ が出てくる。
KingsProperty も使えそうにないし、
留数定理に持ち込む方法を検討中。

No.8 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/10/03 00:52

#2です。

#2では一様乱数を使ってシミュレーションを行っているのですが、そこから予想される結果は、1/pi。

う～ん。二重積分やりたくないし・・・、スマートにやりたい気持ちは許されない問題なのでしょうか。

この回答へのお礼

例えば、△ABCの面積の確率密度関数S(x)(面積がx以下となる確率)を求めて∫xS(x)dxを考えれば(それが簡単かはさておき)、一応二重積分は避けられる、という認識でよいのでしょうか？

お礼日時：2021/10/04 13:10

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/10/01 22:44

例によってまたいつもの間違いが(笑

間違いを指摘する能力がある人がいるって、清々しいですね。
さて、御指摘の点を修正してみましょう。

△ABC = (1/2)(sinα)(sinβ)/sin(π-α-β) でしたね。
E[△ABC] = ∬(△ABC)(2/π)²dαdβ
　　　　= (2/π²) ∬{ (sinα)(sinβ)/sin(π-α-β) }dαdβ
を計算するのですが、

γ = π-α-β で置換すると
(sinα)(sinβ)/sin(π-α-β) = (sinα)sin(π-α-γ)/(sinγ)
　　　　　　　　　　　　= (sinα)sin(α+γ)/(sinγ)
　　　　　　　　　　　　= (sinα){ (sinα)(cosγ) + (cosα)(sinγ) }/(sinγ)
　　　　　　　　　　　　= (sinα)²(cosγ)/(sinγ) + (sinα)(cosα)
より、

∫[0,π/2] ∫[0,π/2]{ (sinα)(sinβ)/sin(π-α-β) }dβ dα
= ∫[0,π/2] ∫[π-α,π/2-α]{ (sinα)²(cosγ)/(sinγ) + (sinα)(cosα) }(-dγ) dα
= ∫[0,π/2]{ (sinα)² ∫[π/2-α,π-α] (cosγ)/(sinγ) dγ + (sinα)(cosα) ∫[π/2-α,π-α] dγ }dα
= ∫[0,π/2]{ (sinα)²{ log sin(π-α) - log sin(π/2-α) } + (sinα)(cosα){ (π-α) - (π/2-α) } }dα
= ∫[0,π/2]{ (sinα)² log(sinα/cosα) + (π/2)(1/2)sin(2α) }dα
= ∫[0,π/2] (sinα)² (log tanα) dα + (π/4) ∫[0,π/2] sin(2α) dα
= ∫[0,π/2] (sinα)² (log tanα) dα + (π/4)1.

t = tanα で置換して
∫[0,π/2] (sinα)² log tanα dα
= ∫[0,+∞] { 1 - (cosα)² }(log t) (cosα)²dt
= ∫[0,+∞] { 1 - 1/(1+t²) }(log t){ 1/(1+t²) } dt
= ∫[0,+∞] (t² log t)/(1 + t²)² dt.