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ある法則に従って、数字が並んでいる。
この数列の20番目の値はいくらか。

1、2、6、13、23、36…

解答
533

20番目の数
1+1+3(1+2+3+…+18)+18
=20+3 18×19/2=533←

これって何故20番目の数で
←を書いた行がよくわからないのですが、何故上の式からこうなりますか?

A 回答 (5件)

1+1+18=20



1+2+3+…+18=18×19/2
↓両辺に3をかけると
3(1+2+3+…+18)=3×18×19/2
「ある法則に従って、数字が並んでいる。 こ」の回答画像2
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この回答へのお礼

画像もわかりやすくて助かりました。
ありがとうございました。

お礼日時:2021/10/04 01:02

この数列を{an} とします。


{an} 1,2,6,13、23、36、…

数列{an} の隣り合う項の差を項とする数列を{bn} とします。
{bn} 1,4、7,10、13、…

a₁=1
a₂=a₁+b₁=1+1=2
a₃=a₁+b₁+b₂=1+1+4=6
a₄=a₁+b₁+b₂+b₃=1+1+4+7=13
a₅=a₁+b₁+b₂+b₃+b₄=1+1+4+7+10=23
a₆=a₁+b₁+b₂+b₃+b₄+b₅=1+1+4+7+10+13=36

a₆ の 4+7+10+13 の部分は、
(3×1+1)+(3×2+1)+(3×3+1)+(3×4+1)

これより、
a20=a₁+b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+…+b19
=1+1+(3×1+1)+(3×2+1)+(3×3+1)+(3×4+1)+…+(3×18+1)
=1+1+(3×1+3×2+3×3+3×4+…+3×18)+1×18
=1+1+3(1+2+3+4+…+18)+18
=20+3(1+2+3+4+…+18)

ここで、
S= 1 + 2 + 3 + 4 +…+18 …① とすると、
後ろから足しても和は同じなので、
S=18+17+16+15+…+ 1 …②
①と②で右辺の上下の項を足すとすべて19になるので、
2S=19×18
S=(18×19)/2

したがって、
a20=20+3(18×19)/2=533
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目を凝らして、数列の右のほうを見つめてみましょう。


列の続きが見えてきますね。
そう! 1, 2, 6, 13, 23, 36, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ... です。
規則性は明らかですね。「第7項以降は全て0」です。
よって、数列の20番目の値は 0 です。
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2-1=1


6-2=4
13-6=7
23-13=10
36-23=13



a₂₀-a₁₉=1+3(k-1)
上から足し合わせて
a₂₀-1=(1+4+7+10+13+・・・+{1+3(k-1)})
a₂₀=1+∑[k=1~19]{1+3(k-1)}
=1+19+3*(19*18)/2
=20+3*19*9
=20+513
=533
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>1、2、6、13、23、36…



これだけかから「規則性」を見つけるなんて至難の業でしょう。
この先のどれだけの「例外規則」が待っているのか分かりませんから。

示された範囲だけで考えれば、相互の「差」を求めてみると
 1→2 :差は 1
 2→6 :差は 4
 6→13 :差は 7
 13→23 :差は 10
 23→36 :差は 13
なので、「差」が「初期値が 1 で、あとは3つずつ増えている」とみなせます。

つまり
 a(1) = 1
 a(k+1) - a(k) = 1 + 3(k - 1) (k ≧ 1)
かな。
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