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xを正の実数、nを自然数とする。
n→∞のとき
e^x-Σ[k=0→n-1]x^k/k!〜x^n/n!
はどのように示すのでしょうか?

A 回答 (4件)

訂正



 A=(xⁿ/n!)e^(θx) (0<θ<1)
なので
 1<e^(θx)<1/{1-x/(n+1)} → 1
つまり
 e^(θx) → 1
つまり、
 A ~ xⁿ/n!
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あまり、記述が無いようですが、「同程度のオーダ」と考えた。


https://physnotes.jp/math/math-symbol/
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e^xのマクローリン展開


  e^x = Σ[k=0→∞]x^k/k! (収束半径∞)
を使って、
  e^x-Σ[k=0→n-1]x^k/k! = Σ[k=n→∞]x^k/k!
である。で、
  Σ[k=n→∞]x^k/k! 〜 x^n/n!(つまり左辺の級数の初項)
と言えるかどうかは、"〜"がどういうつもりなのかによる。
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この回答へのお礼

うーん・・・

〜 はよく使われる数学記号だと思います。

それなのに「どういうつもりなのか」とはこちらがどういうことかお伺いしたいです。

お礼日時:2021/10/05 13:48

A=e^x-Σ[k=0→n-1]x^k/k!


とおく。

0<A=xⁿ/n!+xⁿ⁺¹/(n+1)!+・・・
=(xⁿ/n!){1+x/(n+1)+x²/(n+1)(n+2)+・・・}
 <(xⁿ/n!){1+x/(n+1)+x²/(n+1)(n+1)+・・・}
  =(xⁿ/n!)[1+{x/(n+1)}+{x/(n+1)}²+・・・]
=(xⁿ/n!)/{1-x/(n+1)}

ここで、1/{1-x/(n+1)} → 1 だから
A~xⁿ/n!
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