至急！！！ y＝2sinθ＋cosθ y＝2sinθ－√5cosθ この2つの問題で、それぞれ最大値

至急！！！
y＝2sinθ＋cosθ y＝2sinθ－√5cosθ

この2つの問題で、それぞれ最大値最小値を求める方法がわからないです。 写真までの手順はわかったのですがそれから先がわからないです。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/10/07 20:19

一個のsinまで変形出来ているのに

何故そこから先が不明なんでしょう。

θ+αは任意何だから、αはどうでも良いです。

θ+α=βは任意として √(5)sinβの最大値、最小値を考えましょう。
sinの形から考えるまでもないですよね。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2021/10/07 19:50

三角関数の合成をすればよいです。

y = Asinθ ＋ Bcosθ

から
　C = √(A^2 + B^2)
を作り
　y = C[(A/C)sinθ ＋ (B/C)cosθ]
として、
　cosφ = A/C
　sinφ = B/C
　tanφ = B/A
とします。
（φ は何度になるかは分かりませんが必ず存在します）

そうすれば
　y = C[sinθcosφ ＋ cosθsinφ]
　　= Csin(θ + φ)　　　　　　←加法定理より
となって、θ の定義範囲によって y の最大最小が決まります。
θ に制限がなければ、
　-1 ≦ sin(θ + φ) ≦ 1
ですから、y は
・最小値 -C = -√(A^2 + B^2)
・最大値 C = √(A^2 + B^2)
になります。


(1) y ＝ 2sinθ ＋ cosθ

上のやり方から
　C = √(2^2 + 1^2) = √5
なので
　y = (√5)[(2/√5)sinθ ＋ (1/√5)cosθ]
ここで
　cosφ = 2/√5
　sinφ = 1/√5
　tanφ = 1/2
となる φ を使って
　y = (√5)[sinθcosφ ＋ cosθsinφ]
　　= (√5)sin(θ + φ)

θの範囲に制限がなければ、
・最大値：√5
・最小値：-√5

(2) も同様にして
　C = √[2^2 + (-√5)^2] = √9 = 3
なので、θの範囲に制限がなければ、
・最大値：3
・最小値：-3

No.1 回答者： cruelman 回答日時： 2021/10/07 19:12

θの範囲が仮に任意の実数だとすればsinの値域は-1以上1以下となるのでそれを踏まえれば手順なんぞいちいち覚えなくても正解を導けます。