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2*Σ[k=1,n] k*{C(n,k)}^2=n*C(2n,n)
を帰納法を使わないで証明したいのですが、お教えください。

質問者からの補足コメント

  • 皆様、ご回答をいただきありがとうございました。

      補足日時:2021/10/16 21:31

A 回答 (4件)

2n 個のものをn個ずつ2つのグループA、Bに分けます。


2n 個のものからn個選ぶ組合せの総数 C(2n,n) を次のように求めます。
Aから0個Bからn個、Aから1個Bから(n-1)個、Aから2個Bから(n-2)個、…、
Aからn個Bから0個選ぶというように場合分けして求めると、
C(2n,n)=Σ[k=0,n] {C(n,k)×C(n,n-k)}=Σ[k=0,n] {C(n,k)}^2

Σ[k=1,n] k*{C(n,k)}^2
=Σ[k=0,n] k*{C(n,k)}^2
=Σ[k=0,n] (n-k)*{C(n,n-k)}^2
=Σ[k=0,n] (n-k)*{C(n,k)}^2

これより、
2Σ[k=1,n] k*{C(n,k)}^2
=Σ[k=0,n] k*{C(n,k)}^2+Σ[k=0,n] (n-k)*{C(n,k)}^2
=Σ[k=0,n] [k*{C(n,k)}^2+(n-k)*{C(n,k)}^2]
=Σ[k=0,n] n*{C(n,k)}^2
=n*Σ[k=0,n] {C(n,k)}^2
=n*C(2n,n)
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この回答へのお礼

ベストな解答だと思いました。実は、対称性はわかっておりましたが、それを証明に活かす工夫を求めていました。大変、ありがとうございました。

お礼日時:2021/10/13 21:54

f(x)=(1+x)^n=Σ_[k=0,n] nCk x^k


と置いて、
(f(x))^2の微分を2通りの方法
d(f(x))^2/dx=2f(x)*f’(x) ...(*)
d(f(x))^2/dx=d (1+x)^(2n)/dx ...(**)
で計算してx^(n-1)の係数を比べればいい。

(*)の方は、
f’(x)=Σ_[k=0,n] k*nCk*x^(k-1)
だから、
f(x)*f’(x)のx^(n-1) の係数は、f'(x)から x^(k-1) の項と f’(x)の方から x^(n-1-(k-1))=x^(n-k)の項の積(k=1,2,..,n)だから、
(*)の右辺のx^(n-1)の係数=2*f(x)*f’(x)の x^(n-1)の係数=2*Σ_[k=1,n] k*nCk*nC(n-k)=2*Σ_[k=1,n] k*(nCk)^2

(**)は f(x)=(1+x)^n なので、
(f(x)^2)’=((1+x)^(2n))’=(Σ_[k=0,2n] 2nCk x^k)’=Σ_[k=0,2n] k* 2nCk* x^(k-1)
だから、(**)の右辺のx^(n-1)の係数は n*2nCn

両者は等しいので求める式を得る。
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この回答へのお礼

素晴らしい証明で目が洗われる思いです。また、このような組合せの公式を一覧にしたものなとがありましたら教えてください。ありがとうございました。

お礼日時:2021/10/12 20:17

C(n,k)は2項係数を示すことは、ほぼ常識です。


https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84%E5%90%88 …

ほぼですけど。
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あのなあ。


数学でも何でも、C(n,k)とは一体何を定義した物かを、最初に言わないと駄目なんだよ。
C(n,k)=n+kかも知れんし、n×kかも知れん。
何とでも無限に解釈が可能なんだ。
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