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数学の、指数関数、対数関数の範囲の常用対数についてわからないことがございます。次の条件を満たす自然数nの値を求めよ。ただし、log[2]=0.3010,log[3]=0.4771とする。

(1) 6^nが10桁の数となる。という問題で、
解答が、

(1) 6^nが10桁の数となるための条件は、
10^9≦6^n<10^10 各辺の常用対数をとると、
9≦nlog[10]6<10 …①
ここで、log[10]6=
log[10](2×3)=log[10]2+log[10]3
=0.3010+0.4771=0.7781
よって、①から9≦0.7781n<10
したがって、9/0.7781≦n<10/0.7781
すなわち、11.56・・・≦n<12.85・・・
この不等式を満たすnは、n=12

わからないのは、6^nが10桁の数となるための条件のところで、真ん中が
自分の解答は10^9≦6^10<10^10に対し
10^9≦6^n<10^10となっていることです。
Nの整数部分がn桁であれば10^n-1≦N<10^nと参考書に書いてあるので基本式に与式の6^nが10桁の数だから指数nに10を代入すればすむ話ではあるのですが個人的にしっくりきません。

A 回答 (5件)

問題のnと参考書のnの使用のされ方は異なりますので、


文字を換えてみると良いと思います。

参考書の文字を次のように換えます。
Mの整数部分がm桁であれば 10^(m-1)≦M<10^m

これより、
6^n が10桁であれば 10^(10-1)≦6^n<10^10
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この回答へのお礼

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参考になりました。

お礼日時:2021/10/16 20:14

Nの整数部分がn桁であれば10^n-1≦N<10^n





n=10
N=6^n=6^10
とすると

6^10の整数部分が10桁であれば10^10-1≦6^10<10^10

となるが

6^2=36
6^4=36^2=1296
6^5=1296*6=7776
6^10=7776^2=60466176 は8桁だから

6^10の整数部分は10桁ではないから10^10-1≦6^10<10^10ではない
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この回答へのお礼

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勉強になりました。感謝致します。

お礼日時:2021/10/16 20:14

普通に考えればいいんですよ?


x が 10 桁の数となるための条件は、10^9 ≦ x <10^10。
6^n が 10 桁の数となるための条件なら、 10^9 ≦ 6^n <10^10。

なにがしっくりこないのか、
6^10 という数値はいったいどこから出てきたのか、
自分の言葉で説明してみてください。
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この回答へのお礼

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参考になりました。

お礼日時:2021/10/16 20:13

>>6ⁿが10桁の数だから指数nに10を代入すればすむ話で・・・



そこが違うでしょ?

n=1なら6¹:1桁
n=2なら6²:2桁
n=3なら6³:3桁
n=4なら6⁴:4桁
n=5なら6⁵:4桁 → 5桁じゃ無い


n=10なら6¹⁰:8桁 → 10桁じゃ無い
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この回答へのお礼

助かりました

勉強になりました。感謝致します。

お礼日時:2021/10/16 20:13

質問者様の解答では


10^9≦6^10<10^10
としているということでよろしいでしょうか?

そもそもnって求めるものですよね。

> 与式の6^nが10桁の数だから指数nに10を代入すればすむ話

指数nに10を代入すればすむ話ではないのでは?
問題がちょっと違って、6のところが1だったら、
1を何回かけても1にしからなないから10桁を満たすnはないし、
6のところが既に10桁になっている数字だったら
nは1で条件を満たさない?

6だったらそのnはいくつになるの?というのを求めているのだと
思うのだけど。

質問者様が書いている内容を勘違いしていたらすみません。
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この回答へのお礼

助かりました

参考になりました。感謝致します。

お礼日時:2021/10/16 20:12

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