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母体数が無限の場合、確率論は成り立ちませんか?
例えばコイン投げの場合 表裏 が出る確率はそれぞれ1/2です。しかし百回投げても無限回投げても表しか出ない可能性もありますよね。必ず1/2になる訳では無いと思います。

他にも1/100の確率で当たりが出るクジ引きがあるとします。
それを一万回引けば百枚当たりクジが出る計算になりますが、母体数が無限ならばそうにはなりませんよね。なぜならはずれクジも無限にあるから。

大数の法則と言うものがよく分かっていないのですが、自分の簡単な解釈だと、「無限回繰り返せば確率は収縮する」と言う事で合っていますか?
素人考えで申し訳ないのですが、詳しい方教えていただけると嬉しいです。

A 回答 (4件)

「母体数が無限」? 何を言いたいのか...


無限通りの中からどれか 1つが取り出される場合にも、
個々の元が取り出される確率を設定して
確率論は普通に成り立ちます。

集合 S の各元 x に対して 0 または正の実数 p(x) が与えられて、
S の全ての元に対する p(x) の合計が 1 ならよいだけだからです。
ただし、S が無限集合だと、各元の選ばれる確率が皆等しい
ような p( ) は存在しません。 そのことは、
「確率論が成り立たない」ではなく「一様分布は存在しない」と言います。
一様分布以外の確率分布なら存在して、確率論は成り立つからです。

その話と「大数の法則」は、あまり関係がありません。
大数の法則は、正確に言うと「平均 μ と分散 V を持つ確率分布からの
n 回独立反復試行の標本平均の分布関数は、 n→∞ の極限において
平均 μ と分散 V/n の正規分布に漸近する。」です。
極おおざっぱに言えば、「たいていの確率分布から n 個独立にとって
その平均を求めると、平均値も確率分布であって、その分布は
n が大きければほぼ正規分布に近い。」ということになります。

「無限回繰り返せば確率は収縮する」は、ちょっとよくないですね。
確率の収縮とは、試行する前は確率分布であったものが、
試行して結果が出てしまうと確率分布ではなくなってしまうことを言います。
無限回ではなく、1回行えばよいのです。
例えば、表裏対称なコインを投げて表が出るか裏が出るかは
確率 1/2 づつと思われますが、
実際にコインを投げて表か裏が出てしまえば、結果は表か裏かのどちらかであって、
投げる前の表裏 1/2 づつとは違ってしまいます。
このことを「確率の収縮」といいます。(確率の「収束」ではないことに注意。)
これは、数学とか確率論とかの用語というより、物理学用語です。
興味があれば、「シュレディンガーの猫」を検索してみてください。
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この回答へのお礼

詳しくありがとうございます。数学に関してはまともに勉強していないのでふと疑問に思ったことを質問してみました。稚拙な点はお見逃しください。
更に興味が深まったので、早速シュレディンガーの猫を調べてみようと思います。ありがとうございました。

お礼日時:2021/10/19 11:41

> 百回投げても無限回投げても表しか出ない可能性も


それは、連続して一方だけが出る確率と言う事になります。
「百回投げて」のその確率は、約8e-31になります。
無限回投げれば、それはゼロに収束します。

> 必ず1/2になる訳では無いと思います。
それが、確率という性質です。

> 1/100の確率で当たりが出るクジ引きがあるとします。
商店街の福引は、引いたくじがどんどん減っていくシステムです。
それが一組しかなければ、100回引けば必ず当たりが一回でます、

> それを一万回引けば
「1/100の確率で当たりが出るクジ」が百組用意されている、
と言う事になります。

> 母体数が無限ならばそうにはなりませんよね。
これは、完全確率と同じ考えでしょう。
パチンコ/パチスロのくじの方式は、
引いたくじを都度戻す方式です。
なので、永遠に引き続けても、くじの数が減らないのです。
しかし、引く回数を重ねる程に、その確率に近づいていきます。

> 「無限回繰り返せば確率は収縮する」と言う事で
はい、そうです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。確率そのものを理解していなかったので勉強になりました。

お礼日時:2021/10/19 11:42

>一万回引けば百枚当たりクジが出る計算になりますが



「確率」とは、「起こり易さを 数値で表したもの」です。
従って 「一万回引けば百枚当たりクジが出る」可能性が高い と云う事で、
「必ず 一万回引けば百枚当たりクジが出る」訳ではありません。
逆に クジが無限にあれば、一万回引いても 1枚も 当たらない可能性もあります。
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この回答へのお礼

分かりやすくありがとうございます。確率そのものを理解していなかったので勉強になりました。

お礼日時:2021/10/19 11:43

大数の法則と言うものは、「無限回繰り返せば確率は収縮する」と言う事で合っています。


回数を増やせば増やすほど、バラツキが小さくなるということです。
昔コンピュータで試しなんですが、0-1の乱数(疑似乱数ですが)の平均値で、具体的には忘れましたけど、100万回くらいで0.499999999????位だったのが10億回位で5.0000001????くらいになったことがあります。どこかで5丁度になったと思いますが、その先は収束値から乖離していったということになります。事実はそういうものです。
 したがって。
①母体数が無限の場合、確率論は成り立ちませんか?
 確率の値に向かって終息すると考えられます。必ず1/2になるとは言えませんが、必ず限りなく1/2に近づくと思います。
②一万回引けば百枚当たりクジが出る計算になりますか?
 なりません。一万回引けば百枚前後、当たりクジが出る確率が高いでしょう。一万回引くことを一万回行えば、85-94回、95-104回,105-114回の各回数を調べれば95-104回の幅の中に納まるケースが一番多いでしょう。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。後半の説明がとても分かりやすかったです。

お礼日時:2021/10/19 11:44

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