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問題文
次のN,Uの連立微分方程式において、平衡点をすべて求めよ。ただし、パラメータa,c,tN,tUはすべて正とする。
dN/dt=-N/tn+aNU
dU/dt=U0-U/tu-cNU

この連立微分方程式の平衡点の求め方を教えてください。お願いします!

A 回答 (2件)

tが t+δt になったとき Nが N+δNに、Uが U+δU


になったとする。

d(N+δN)=-[{(N+δN)/tn}+a(N+δN)(U+δU)]dt
d(U+δU)=[{U0-(U+δU)/tu}-c(N+δN)(U+δU)]dt
これらから元の式を引いて
dδN={(δN/tn)+aδ(NU)}dt
dδU={-(δU/tu)-cδ(NU)}dt
上の式から下の式を引くと
dδ(N-U)=[{δ(Ntu-Utn)/(tntu)}+(a-c)δ(NU)]dt
平衡点は、
N=U、Ntu=Utn、N=0、U=0 のとき永続的ではないにしろ
平衡状態になる。
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定数、変数を明示できていない。

平衡点のの意味も理解できないが
テキトー

平衡点を dN/dt=dU/dt=0 とすると
 0=-N/(tn)+aNU → N(-1/(tn)+aU)=0 → N=0 or U=1/a(tn)・・・①
 0=U₀-U/(tu)-cNU → U₀-U(1/(tu)+cN)=0 → U=U₀/(1/(tu)+cN)

したがって①から
 N=0 のときは U=U₀/(1/(tu))=U₀(tu)
またた
 U=1/a(tn) のときは 1/a(tn)=U=U₀/(1/(tu)+cN)
  → N={U₀a(tn)-1/(tu)}/c

まとめると
 N=0 かつ U=U₀(tu)
または
 U=1/a(tn) かつ N={U₀a(tn)-1/(tu)}/c
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