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ラプラス変換の問題について質問です。
下記の微分方程式の初期値問題をラプラス変換を用いて解きなさい.
y"+3y'+2y=e^2t , y(0)=0 , y'(0)=1
と言う問題で、
y"+3y'+2y=e^2t (1)

y(0)=0 , y'(0)=1

y(t)のラプラス変換をY(s)として、(1)をラプラス変換すると

s^2Y(s)-sy(0)+y'(0)+3(sY(s)-y(0))+2Y(s)=1/(s-2)

初期値を代入して

s^2Y(s)+1+3sY(s)+2Y(s)=1/(s-2)

(s^2+3s+2)Y(s)=1/(s-2)-1=-(s-3)/(s-2)

(s+2)(s+1)Y(s)=-(s-3)/(s-2)

Y(s)=-(s-3)/(s-2)(s+2)(s+1)=-[a/(s-2)+b/(s+2)+c/(s+1)]

とおいて部分分数分解すると

(s-3)/(s-2)(s+2)(s+1)

=[a(s+2)(s+1)+b(s-2)(s+1)+c(s-2)(s+2)]/(s-2)(s+2)(s+1)

=[(a+b+c)s^2+(3a-b)s+(2a-2b-4c)]/(s-2)(s+2)(s+1)

a+b+c=0

3a-b=1

2a-2b-4c=-3

これを解いて

a=-1/12, b=-5/4, c=4/3

Y(s)=-[-1/(s-2)-(5/4)/(s+2)+(4/3)/(s+1)]

=1/(s-2)+(5/4)/(s+2)-(4/3)/(s+1)

逆変換して

y(t)=e^(2t)+(5/4)e^(-2t)-(4/3)e^(-t)

となったのですが、合っていますか?
間違っていたら解説お願いします。

A 回答 (2件)

y"+3y'+2y=e^(2t)…(1)



y(0)=0,y'(0)=1

y(t)のラプラス変換をY(s)として、(1)をラプラス変換すると

s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)+3(sY(s)-y(0))+2Y(s)=1/(s-2)

初期値を代入して

s^2Y(s)-1+3sY(s)+2Y(s)=1/(s-2)

(s^2+3s+2)Y(s)=1/(s-2)+1=(s-1)/(s-2)

(s+2)(s+1)Y(s)=(s-1)/(s-2)

Y(s)=(s-1)/{(s-2)(s+2)(s+1)}=a/(s-2)+b/(s+2)+c/(s+1)

とおいて部分分数分解すると

(s-1)/{(s-2)(s+2)(s+1)}

={a(s+2)(s+1)+b(s-2)(s+1)+c(s-2)(s+2)}/{(s-2)(s+2)(s+1)}

={(a+b+c)s^2+(3a-b)s+(2a-2b-4c)}/{(s-2)(s+2)(s+1)}

a+b+c=0

3a-b=1

2a-2b-4c=-1

これを解いて

a=1/12, b=-3/4, c=2/3

Y(s)=(1/12)/(s-2)-(3/4)/(s+2)+(2/3)(s+1)

逆変換して

y=(1/12)e^(2t)-(3/4)e^(-2t)+(2/3)e^(-t)
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この回答へのお礼

もう一度やってみましたが符号間違えてました。
ありがとうございました。

お礼日時:2021/10/24 22:46

> s^2Y(s)-sy(0)+y'(0)+3(sY(s)-y(0))+2Y(s)=1/(s-2)



3項目y'(0)の符号が違うんでは?
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この回答へのお礼

確かに間違えてました。

お礼日時:2021/10/24 22:47

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