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f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-π)=0
g(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-eπ)=0

このとき、
f(x)はガロア理論を用いずとも代数的に解けない。
g(x)はガロア理論を用いても代数的に解けるか解けないかは分からない。
と結論されるのでしょーか?

A 回答 (9件)

ふと思ったのだが「f(x)はガロア理論を用いずとも代数的に解けない。

」とか「g(x)はガロア理論を用いても代数的に解けるか解けないかは分からない。」とか「結論されるのでしょーか?」と感じたのはなぜなんだろうか.

ふつうここまで因数分解している方程式に対して「代数的に解ける」かどうかを考えることはないし, そもそも「代数方程式が代数的に解ける」かどうかと「代数的数」とは完全に無関係なんだけどさ.
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この回答へのお礼

まず代数的に解けるとは、四則演算(;,-,×,/)と累乗根を用いて表現される数を用いて因数分解することです。
で、これは数学の決まりです。
次にπ,eは四則演算(;,-,×,/)と累乗根を用いて表現できないこと、代数的数ではないことは既に証明されています。
それを無理やり用いて(x-π)で因数分解したってことは、つまり代数的に解けないってことの証拠でしょ。

お礼日時:2021/10/26 11:41

数学は専門ではないので質問文の式は「因数分解できている」と言う意味にしか見えませんし、(x-π)が因数に含まれているなら「x=πが解の一つである」と言う意味にしか解釈できません。

私は高校および大学(数学専攻以外)の数学の範囲でしかコメントしていませんが、数学専攻以外の人なら同様の回答しかしないでしょうから、体云々と言う話が絡んで来るのであれば最初にその旨書いておくべきだったと思います。
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> >n や en が何を 意味するか分かりませんが。


> ここが中心的なポイントですよ。

no2 です。
ならば、先に n や en が何であるかを 明確にするべきでしょ。
何も条件が無いのであれば、(x-1) も (x-n) も (x-en) も
同一種の 因数と 解釈するのは 当然だと思いますよ。

(x-n)=0 が 成り立たないのであれば、
解から x=n を 除外するだけでしょ。
ならば、あなたの最初の質問で 明示すべきでは。
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> (x-π)が因数に含まれている時点で代数的に解けないのではありませんか?



No.1 でも No.5 でも書いたのだけどスルーされているなあ。
あなたのいうとおり「どの体上で考えているか」が大事で、
特に注記が無い場合は、与えられた方程式の係数を含む最小の代数体
をガロア拡大したものの上で考えるのが普通です。

だから、例えば f(x)=0 の場合、各解が
Q(-1,-2,-3,-4,-π) の元から有限回の代数演算で導けるか?
を話題にしているわけで、 x=π が代数的な解であることは
π が代数的数でないこととは関係なく、自明なんです。
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> 何か忘れていませんか?


> 因数分解できる、できないはどの体上で考えているかを?

それを明示して議論することは大切ですが、
明記されてない場合には
表示された方程式の係数を含む最小の代数体
からのガロア拡大体の上での分解を考えるのが通常です。

だから、既に一次因子に分解されている方程式は
もう「代数的に」解けているんですよ。
その一次因子の係数が代数的数か否かとは関係なく。
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この回答へのお礼

>もう「代数的に」解けているんですよ。

逆ではないですか。
f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-π)=0であれば、(x-π)が因数に含まれている時点で代数的に解けないのではありませんか?

お礼日時:2021/10/23 18:57

追記ですが、f(x)=0をn次方程式とすると、これが代数的に解けると言う事はf(x)が因数分解できると言う事に他なりません。

なのでf(x)が質問文のように因数分解できている時点で「代数的に解けた」と言う事になります。
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この回答へのお礼

何か忘れていませんか?
因数分解できる、できないはどの体上で考えているかを?
これ大前提でしょ。

お礼日時:2021/10/23 17:41

ガロア理論もヘッタクレも既に因数分解できているわけですから解は求まっています。

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この回答へのお礼

何か忘れていませんか?
因数分解できる、できないはどの体上で考えているかを?
これ大前提でしょ。

お礼日時:2021/10/23 17:44

f(x)=0, g(x)=0 が 共に 5つの因子の積になっていますから、


それぞれの因子が 0 になれば、代数的に 解けたことになりませんか。
n や en が何を 意味するか分かりませんが。
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この回答へのお礼

>n や en が何を 意味するか分かりませんが。

ここが中心的なポイントですよ。

お礼日時:2021/10/23 17:43

どちらも、既に代数的に解けています。


f(x) = 0 は、x = 1, 2, 3, 4, π、
g(x) = 0 は、x = 1, 2, 3, 4, eπ です。
π が代数的数でないことや、
eπ が代数的数かどうか判らないことは問題ではありません。

「代数的に解ける」とは、
解が与えられた方程式の係数から代数演算で作りだせることを言います。
一次因子の積に分解されている方程式は、既に代数的に解けています。
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この回答へのお礼

何か忘れていませんか?
因数分解できる、できないはどの体上で考えているかを?
これ大前提でしょ。

お礼日時:2021/10/23 17:42

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