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素数は無限にあることのオイラーによる証明方法に関する質問です。
添付ファイルを参照ください。
添付ファイルの(1)が成立するとまず記載されていると思います。
そして、この証明の最後に『有限=無限』となり矛盾すると書かれています。
このことは(1)式が成立しないと言っているのでしょうか?

Q1)何故、成立しない(1)式を、成立すると思わせる様に書いているので
しょうか?

注)(1)式の左辺と右辺の間に=があります。
つまり、素人の私には通常の日本語としては、すんなりと理解できない
様に感じます。

以上、お教え頂けますと有難いです。

「素数は無限にあることのオイラーによる証明」の質問画像

A 回答 (4件)

その(1)の左辺のΣの下の(k=1)は間違いで(k=0)が正しいです



Π_{i=1~n}Σ_{k=0~∞}1/(p_i)^k=Σ_{m=1~∞}1/m

任意の自然数mに対して

m=Π_{i=1~n}(p_i)^(k_i)

となる非負整数( k_i )_{i=1~n}が存在するから

1/m=Π_{i=1~n}1/(p_i)^(k_i)

右辺の1/mに対して
左辺のΠ_{i=1~n}1/(p_i)^(k_i)
が1:1に対応するので

素数の数nが∞であれば(1)が成立するのです
だけれども
素数の数nを有限と仮定したので
(1)式が成立しないと言っているのです
「素数は無限にあることのオイラーによる証明」の回答画像3
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この回答へのお礼

お世話になります。
大変丁寧、親切な回答有難う御座います。

>右辺の1/mに対して
左辺のΠ_{i=1~n}1/(p_i)^(k_i)
が1:1に対応するので

<ーー例えばm=1の場合と、m=2の場合に
Π_{i=1~n}1/(p_i)^(k_i)はどのように
展開されるのでしょうか? 
添付ファイルの
...1/P0^0=1
...1/P0^0=1/2 の所が理解できません。

以上、お教え頂けますと理解が大分進むと思っています。

お手数ですが宜しくお願いします。

お礼日時:2021/10/23 17:03

m=1の場合は


i=1~nに対して
k_i=0
とするから
Π_{i=1~n}1/(p_i)^(k_i)=Π_{i=1~n}1/(p_i)^0=1

m=2の場合は
p_1=2
k_1=1
i=2~nに対して
k_i=0
とするから
Π_{i=1~n}1/(p_i)^(k_i)=(1/2^1)Π_{i=2~n}1/(p_i)^0=1/2
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補足.



(1) 式そのものは成立するんじゃないかなぁ, 細かいところが見えないけど.
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画像でなんと書いてあるのかはわからんけど背理法じゃないの?

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