非可換環においては、(ab)^n=a^nb^nは一般に成り立ちませんか？ 可換環なら常に成り立ちます

非可換環においては、(ab)^n=a^nb^nは一般に成り立ちませんか？
可換環なら常に成り立ちますか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/10/28 11:26

そうです。

ab = ba が成り立たないことを非可換といいます。
なので、 (ab)^n = ababab...ab が (a^n)(b^n) と一致しなくなります。
可換環なら常に (ab)^n = ababab...ab = (a^n)(b^n) です。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2021/10/28 14:15

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/10/28 12:04

１．

(ab)^n=a^nb^nは一般に成り立たず、可換環なら常に成り立つ。

２．
　a=((1,0),(0,0)) , b=((1,1),(1,1))
とする。
　ab=((1,1),(0,0)) , (ab)²=((1,1),(0,0))
　a²=((1,0),(0,0))=a , b²=2((1,1),(1,1))=2b
　a²b²=2ab≠(ab)²

なので、一般に成り立たない。

３．
可換なら
n=1 の時は自明
　(ab)ⁿ⁻¹=aⁿ⁻¹bⁿ⁻¹
の成立を仮定
　(ab)ⁿ=(ab)ⁿ⁻¹(ab)=(aⁿ⁻¹bⁿ⁻¹)(ab)=aⁿ⁻¹(bⁿ⁻¹a)b
　　　=aⁿ⁻¹(abⁿ⁻¹)b=(aⁿ⁻¹a)(bⁿ⁻¹b)=aⁿbⁿ
なので、常に成立。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2021/10/28 14:15