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情報数学の下の問題を解きたいのですが、まったく意味が分からずに困っています。
詳しい方がいましたら解答お願いします。
A = {1, 2, 3, 4, 5} として、A から A への対応が次のように定義されている。
それらの対応がA における写像であるかどうかを答え、写像ならば P = {2, 3} の像、Q = {4} および R = {1, 2}の原像を示せ。
(1) {(1, 3),(2, 4),(1, 1),(3, 2),(3, 5)}
(2) {(1, 2),(5, 3),(4, 1),(3, 2),(2, 1)}

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A 回答 (2件)

任意のx∈Aに対して(x,y)∈Gとなるy∈Aがただ1つ存在する時


GはAからAへの写像(のグラフ)といい,y=f(x)と表す

(1)
G={(1, 3),(2, 4),(1, 1),(3, 2),(3, 5)}
とする
1∈Aに対して(1,y)∈Gとなるy∈Aは
(1,y)=(1,3)∈Gの時y=3
(1,y)=(1,1)∈Gの時y=1
の2つ
だから写像ではない

(2)
G={(1, 2),(5, 3),(4, 1),(3, 2),(2, 1)}
とする
1∈Aに対して(1,y)∈Gとなるyはy=2だけでf(1)=2
2∈Aに対して(2,y)∈Gとなるyはy=1だけでf(2)=1
3∈Aに対して(3,y)∈Gとなるyはy=2だけでf(3)=2
4∈Aに対して(4,y)∈Gとなるyはy=1だけでf(4)=1
5∈Aに対して(2,y)∈Gとなるyはy=3だけでf(5)=3
と定まるから
写像である
f(2)=1
f(3)=2
だから
P={2,3}の像f(P)={1,2}
Aの像
f(A)={1,2,3}
にQ={4}は含まれないから
Q={4}の原像f^(-1)(Q)=φ=(空集合)
f(5)=3
f({1,2,3,4})={1,2}=R
だから
R={1,2}の原像f^(-1)(R)={1,2,3,4}
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原像=終域の部分集合の逆変換=逆像


なので、写像を使ってそれぞれを逆変換するだけです。
例えば (1) で Pの原像は (3, 1)
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