数学の問題について

数学の以下の問題の解き方と解答を教えてください

数列 a_1, a_2, a_3,･･････,a_n,･･････の初項から第n項までの和を S_nとする。
S_n=-n^3+15n^2-56n+1
であるとき,次の問に答えよ。

1)a_2の値を求めよ。

2)a_n(n=2,3,･･････）をnで表した式を求めよ。

3)S_nの最大値を求めよ。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/10/30 21:25

S(n) = ∑[k=1..n] a(n) であれば、

a(1) = S(1),
n≧2 のとき a(n) = S(n) - S(n-1) です。

a(1) = S(1) - S(0) ではないことが
あるあるの引掛けポイントなんですが、
今回は n≧2 しか扱っていませんね。

1)
a(2) = S(2) - S(1)
　　= { - 2^3 + 15・2^2 - 56・2 + 1 }
　　　- { - 1^3 + 15・1^2 - 56・1 + 1 }
　　= { -59 } - { -41 }
　　= -18.

2)
a(n) = S(n) - S(n-1)
　　= { - n^3 + 15n^2 - 56n + 1 }
　　　- { - (n-1)^3 + 15(n-1)^2 - 56(n-1) + 1 }
　　= - 3n^2 + 33n - 72.

3)
S(n) の増減は、a(n) の正負で決まります。
a(n) > 0 ならば S(n-1) < S(n),
a(n) = 0 ならば S(n-1) = S(n),
a(n) < 0 ならば S(n-1) > S(n) です。

a(n) = - 3n^2 + 33n - 72 = 0 を解いて n = 3, 8 より、
S(1) > S(2) = S(3) < S(4) < ... < S(7) = S(8) > S(9) > ...
よって、 S(1) または　S(7) = S(8) が最大値です。
S(1) = -41,
S(8) = - 8^3 + 15・8^2 - 56・8 + 1 = 1.
を比較して、
S(n) の最大値は n = 7, 8 のとき S(n) = 1.

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/10/30 16:13

2)

an=Sn-Sn-1=-3n²+33n-72

1)
a₂=150

3)
Sn'=-3n²+30n-56=0
n={15±√(15²-3・56)}/3≒5±7.5/3=7.5 , 2.5

3次曲線から n=7.5がピーク、したがって

S[1]=-41
S[7]=S[8]=1
なので
１