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画像の級数を求めたいのですが、うまくできません。 答えだけでよいので教えていただけませんでしょうか。

「高校数学、数列、2項係数の和」の質問画像

A 回答 (1件)

「p個からq個を選ぶ」combinationをcomb(p,q)と書くことにする。


  J(a,b,m) = (a + b)^m
とすると、
  J(x,y,3n) = Σcomb(3n,t) (x^t)(y^(3n-t)) (t=1~3n)
そして
  J'(x,y,3n) = (∂/∂x)J(x,y,3n)
とおくと
  J'(x,y,3n) = (∂/∂x)(x + y)^3n = 3n ((x + y)^(3n - 1))
  J'(x,y,3n) = Σt comb(3n,t) (x^(t-1))(y^(3n-t)) (t=1~3n)
だから
  -J'(-1,1,3n) = 3n ((-1 + 1)^(3n - 1)) = 0
  -J'(-1,1,3n) = Σt comb(3n,t) ((-1)^t) (t=1~3n)
ここで
  K(r,n) = Σ(3k+r) comb(3n,3k+r) ((-1)^(3k+r)) (k=1~n)
と書くことにすると、
   K(0,n) + K(1,n) + K(2,n) = -J'(-1,1,3n) = 0
つまり
  K(0,n) = -(K(1,n) + K(2,n))
であり、知りたいのは K(0,n)/3 だな。

 一方、1の立方根は1の他に
  ω = (-1+i√3)/2
  ω^2 = (-1-i√3)/2
がある。もちろん
  ω^3 = 1
だから、
  -ω J'(-ω,1,3n)
  =Σt comb(3n,t) ((-ω)^t) (t=1~3n)
  = Σ3k comb(3n,3k) ((-ω)^(3k)) (k=1~n)
   + Σ(3k+1) comb(3n,3k+1) ((-ω)^(3k+1)) (k=1~n)
   + Σ(3k+2) comb(3n,3k+2) ((-ω)^(3k+2)) (k=1~n)
  = K(0,n) + ωK(1,n) + (ω^2)K(2,n)
  = ( K(0,n) - (K(1,n) + K(2,n))/2 ) + (i√3)/2 (K(1,n) - K(1,n))
なので、複素数zの実部をRe(z)と書くことにすると
  Re(-ω J'(-ω,1,3n)) = K(0,n) - (K(1,n) + K(2,n))/2
   = (3/2)K(0,n)
細かい計算間違いしてるかもしれんが、ま、こんな感じ。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。自分でも解けました。

お礼日時:2021/11/02 07:07

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