なぜ地球から物体(ロッケット)などを打ち上げると楕円運動をするのですか?それと高校の最初の授業でやる小物体を斜めに打ち上げる問題では小物体は放物線を描いていました。なぜ惰円運動の一部ではなく放物線運動なんですか?よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

>なぜ地球から物体(ロッケット)などを打ち上げると楕円運動をするのですか?


万有引力の位置エネルギー U=-GMm/r のもとでの運動方程式を解くと
楕円運動することがわかります。
ただし、大学院の入試問題にもなりそうなので導くのは少し大変です。

>なぜ惰円運動の一部ではなく放物線運動なんですか?
boinmaster さんの仰るように近似を使います。
地球半径をRとすると地上での位置エネルギーは
 U = -GMm/R
地上よりhだけ高い位置での位置エネルギーは
 U' = -GMm/(R+h)
と書けます。すると地面を基準とした高さhでの位置エネルギーは
 U'-U = GMm/R*{1-(1+h/R)^-1}    ←^-1 は-1乗の意味
    ≒ GMm/R*{1-(1-h/R)}     ←ここで近似
    = GMmh/R^2
ここで、地上で地球から受ける万有引力の大きさが mg なので
 GMm/R^2 = mg
が成り立ちます。この式より、
 U'-U = mgh
となることがわかります。
このように近似された位置エネルギー中での運動方程式を解くと放物運動になります。
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 こんばんは。



 現実の問題としては、厳密には近似と言っても良いと思います。(特に放物線運動)

 まず、地上の放物線の運動では、重力加速度の向きは常に真下で、その大きさも不変としています。これは、すごく厳密に言うと違います。地球から離れれば重力加速度の大きさは変わるはずだし、下に非常に高密度の物体があっても、その万有引力で重力の大きさや向きは変わります。
 でも、そんなことを言っていたら高校レベルの問題にはなりませんから、普通は重力加速度の向きや大きさは変わらないとするのです。実際に、そんなことより空気の抵抗の方が影響は大きいでしょう。空気抵抗も無視しますよね。
 そのような条件で、x方向に等速度運動、y方向に等加速度運動として2つの運動方程式を立て、時間tを消去すれば放物線の式になったはず?です。

 楕円軌道ですが、これもたとえ円運動でも厳密にはジオイド面というのに沿って人工衛星などは飛びますので、現実問題としては近似といって良いでしょう。でもこれもほんの少しです。ただ、今度は、中心物体からの距離の変化は無視できなくなります。
 向心(中心を向く)加速度と引力とが完全に釣り合っていれば、物体は等速円運動をしますが、その速さより運動の速さが大きくなると、軌道は楕円軌道になります。速いので、物体は中心の物体から離脱しようとするわけです。でも中途半端な速さだと、物体の速さはだんだん遅くなり向きも変わり、また中心の物体に近づくような運動に変わります。これは全体として楕円軌道となります。 
 楕円運動は、楕円軌道を同じ速さで運動するのではなく、中心の物体に近づいていくときに加速し、中心の物体から離れていくときに減速するような運動です。これは、振り子が、地球に近づいて行く(下がる)ときに速さを速め、地球から遠ざかる(上がる)ときに速さを遅くすることに対応します。重力と慣性だけで運動する物体は、「つねに落ち続けている」といっても良いのです。
 楕円には焦点が2つありますが、そのうちの1つに中心となる物体(の重心)があります。
 楕円の式の導出には、私自身時間がかかりそうなのでこのへんで。

 では。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。大変ためになりました。やはり近似の一種なんですね!

お礼日時:2001/08/30 23:57

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No.2です。あれれ、1つ目の速度の式が変なことになっていますね。
全部書き直しましょう。※が修正部分です。

浮力を公式どおり
  Ff = ρVg
(上向きを正)
とすれば(体積を大文字の V に変えた)、物体の質量をmとすると重力は
  Fg = -mg
ですから、正味の上向きの力は
  F = ρVg - mg

ニュートンの運動方程式より、物体の加速度を a として
  ρVg - mg = ma
より
  a = ρVg/m - g   ←上昇による密度、体積の変化、空気や水の動抵抗を無視すれば一定=「等『加』速度」
速度は
※  v(t) = (ρVg/m - g)t + v0  ←速度は時間とともに変化するので「等速度」ではありません
ということになります。(v0は初速度)

ρ (密度)は、物体が排除する水(あるいは空気)の質量を M とすれば
  ρV = M
ですから、上記の加速度、速度は
  a = Mg/m - g = [ (M - m)/m ]g
  v(t) = [ (M - m)/m ]gt + v0
と書けます。

No.2です。あれれ、1つ目の速度の式が変なことになっていますね。
全部書き直しましょう。※が修正部分です。

浮力を公式どおり
  Ff = ρVg
(上向きを正)
とすれば(体積を大文字の V に変えた)、物体の質量をmとすると重力は
  Fg = -mg
ですから、正味の上向きの力は
  F = ρVg - mg

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物体の質量を m として、当初の円運動の半径を R1 、角速度を ω1 とします。
その運動エネルギーは
 E1 = (1/2)m*R1^2*ω1^2   ①

糸を引いて半径を R2 にしたときの角速度を ω2 とすると、その運動エネルギーは
 E2 = (1/2)m*R2^2*ω2^2   ②

角運動量が保存されれば
 L = m*R1^2*ω1 = m*R2^2*ω2 =const
より
 ω2 = (R1/R2)^2 *ω1   ③

よって②は、③を使って
 E2 = (1/2)m*R2^2*ω2^2
   = (1/2)m*R2^2*[ (R1/R2)^2 *ω1 ]^2
   = (1/2)m*(R1^4/R2^2) *ω1^2
   = E1 * (R1^2/R2^2)   ④
となることが分かります。(半径が 1/2 になれば、運動エネルギーは 4 倍になります)

一方、回転半径が r のときの遠心力は、外向きに
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であり、角運動量が一定なら L=m*r^2*ω=const より
 ω = L/(m*r^2)
なので、遠心力は
 F = L^2/(m*r^3)
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この遠心力に逆らって、半径方向に微小変位 dr 分だけ移動するのに要する仕事は、(力)×(変位)なので
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   = (1/2)L^2*(R1^2 - R2^2)/[ m(R1^2 * R2^2) ]

ここに L=m*R1^2*ω1 を代入すれば
 W = (1/2)m*R1^2*ω1^2*(R1^2 - R2^2)/R2^2
   = E1 * (R1^2 - R2^2)/R2^2          ⑤
ということになります。
 半径を 1/2 にするには、当初の運動エネルギーの 3 倍のエネルギーに相当する仕事をしなければいけないことになります。

①④より、運動エネルギーの差は
 E2 - E1
= E1 * (R1^2/R2^2) - E1
= E1 * (R1^2 - R2^2)/R2^2
ですから、⑤に一致することが分かります。

以上より、当初の半径を R1 の回転運動の運動エネルギーに対して、半径 R2 の回転運動の運動エネルギーは、半径を R1 から R2 に変化させるのに外から加えた仕事分だけ大きくなっていることが分かります。

No.1&3です。各々のエネルギーを計算してみましょう。

物体の質量を m として、当初の円運動の半径を R1 、角速度を ω1 とします。
その運動エネルギーは
 E1 = (1/2)m*R1^2*ω1^2   ①

糸を引いて半径を R2 にしたときの角速度を ω2 とすると、その運動エネルギーは
 E2 = (1/2)m*R2^2*ω2^2   ②

角運動量が保存されれば
 L = m*R1^2*ω1 = m*R2^2*ω2 =const
より
 ω2 = (R1/R2)^2 *ω1   ③

よって②は、③を使って
 E2 = (1/2)m*R2^2*ω2^2
   = (1/2)m*R2^2*[ (R1/R2)^2 *ω1 ]^2
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言い換えると、等速直線運動している観測者から見た場合、運動方程式は満たしているのか?・・・ですね(^^)
微分は使っていいのかな?(・・?)

まず、静止している観測者をS としておき、等速直線運動している観測者をS' としておきます。
S' の速度をv としましょう(^^)
時刻t=0 にSとS' は同じ位置にいたとします(もちろんS' はvで運動しています)
Sから見て、ある物体が力Fを受けて、加速度aで運動していたとします。・・・物体の運動方向は、簡単のため、S'の速度の向きと一致しているとします。
そして、その物体は時刻t=t では位置xにあったとしましょう。
すると、Sに対しては、もちろん、F=ma (m:物体の質量)が成り立ちます(^^)
ここで、
a=dV/dt=d^2x/dt^2  V:物体の速度
ですね。

今度は、S'からこの物体を見ることを考えます(^^)
時刻t=t では、S'から見た物体の位置x'は
x'=x-vt 
ですね(^^)
これをt で微分して、
dx'/dt=dx/dt-v
もう一度t で微分して、
d^2x'/dt^2=d^2x/dt^2 =a
つまり、Sから見た物体の加速度は、S' から見た物体の加速度と一致します。
という事は、S' から見て、ma =F でなければいけませんね。
これは、まさに運動方程式ですね(^^)
注意して欲しいのは、最後のma=F は運動方程式をS' に適用したのではなく(S'で運動方程式が成り立つ事を使ったのではなく)、
Sに対する運動方程式から F と maの値は等しい・・・だから、maとFを等号で結べるって事です。
というわけで、等速直線運動している観測者から見ても運動方程式は、静止している観測者と全く同じものが成立します(^^)

参考になれば幸いです(^^v)

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